Mathématiques > Probabilités et Statistiques > Probabilités > Variables aléatoires (discrètes et continues - notions)

Variables aléatoires : discrètes et continues

Comprendre les variables aléatoires discrètes et continues, avec des exemples concrets et des exercices pour le niveau lycée.

Introduction aux variables aléatoires

Les variables aléatoires sont des outils fondamentaux en probabilités et statistiques. Elles permettent de modéliser des situations où le résultat d'une expérience est numérique et aléatoire. En d'autres termes, une variable aléatoire attribue une valeur numérique à chaque issue possible d'une expérience aléatoire.

Exemple : On lance un dé à six faces. La variable aléatoire X pourrait être définie comme le nombre obtenu. Les valeurs possibles de X sont alors 1, 2, 3, 4, 5 et 6.

Variables aléatoires discrètes

Une variable aléatoire est dite discrète si elle ne peut prendre qu'un nombre fini ou dénombrable de valeurs. Ces valeurs sont généralement des nombres entiers.

Exemples :

  • Le nombre de faces 'pile' lorsqu'on lance une pièce 5 fois.
  • Le nombre d'appels reçus par un standard téléphonique en une heure.
  • Le nombre d'élèves présents dans une classe.

Pour une variable aléatoire discrète, on peut définir une loi de probabilité. Cette loi associe à chaque valeur possible xi de la variable aléatoire, sa probabilité d'occurrence P(X = xi). La somme de toutes ces probabilités doit être égale à 1: ∑P(X = xi) = 1

Espérance et variance d'une variable aléatoire discrète

Pour une variable aléatoire discrète X, l'espérance mathématique (ou moyenne) est une mesure de la valeur moyenne que l'on s'attend à observer. Elle est calculée par :

E(X) = ∑ xi * P(X = xi)

Où xi sont les valeurs possibles de X et P(X = xi) leurs probabilités respectives.

La variance mesure la dispersion des valeurs autour de l'espérance. Elle est calculée par :

Var(X) = E[(X - E(X))2] = ∑ (xi - E(X))2 * P(X = xi)

L'écart-type est la racine carrée de la variance :

σ(X) = √Var(X)

Variables aléatoires continues

Une variable aléatoire est dite continue si elle peut prendre n'importe quelle valeur dans un intervalle donné. Contrairement aux variables discrètes, les variables continues peuvent prendre une infinité de valeurs.

Exemples :

  • La taille d'un élève.
  • La température d'une pièce.
  • Le temps d'attente à un arrêt de bus.

Pour une variable aléatoire continue, on ne peut pas définir de probabilité pour une valeur précise (car elle serait infiniment petite). On utilise plutôt une fonction de densité de probabilité (fdp), notée f(x). La probabilité que la variable aléatoire X se trouve dans un intervalle [a, b] est donnée par l'intégrale de la fdp sur cet intervalle:

P(a ≤ X ≤ b) = ∫ab f(x) dx

L'intégrale de la fdp sur tout l'ensemble des valeurs possibles doit être égale à 1: ∫-∞+∞ f(x) dx = 1

Espérance et variance d'une variable aléatoire continue

Pour une variable aléatoire continue X avec une fonction de densité de probabilité f(x), l'espérance mathématique est calculée par :

E(X) = ∫-∞+∞ x * f(x) dx

La variance est calculée par :

Var(X) = E[(X - E(X))2] = ∫-∞+∞ (x - E(X))2 * f(x) dx

L'écart-type est la racine carrée de la variance :

σ(X) = √Var(X)

Exemples de lois de probabilité courantes

Il existe de nombreuses lois de probabilité, tant discrètes que continues. Voici quelques exemples courants :

Lois discrètes :

  • Loi de Bernoulli : Modélise une expérience avec deux issues possibles (succès ou échec).
  • Loi binomiale : Modélise le nombre de succès dans une série d'essais de Bernoulli indépendants.
  • Loi de Poisson : Modélise le nombre d'événements rares se produisant dans un intervalle de temps ou d'espace donné.

Lois continues :
  • Loi uniforme : Chaque valeur dans un intervalle donné a la même probabilité.
  • Loi exponentielle : Modélise la durée de vie d'un système ou le temps d'attente entre deux événements.
  • Loi normale (ou gaussienne) : Très courante, elle modélise de nombreux phénomènes naturels (taille, poids, etc.). Elle est caractérisée par sa forme en cloche.

Ce qu'il faut retenir

  • Une variable aléatoire associe une valeur numérique à chaque issue d'une expérience aléatoire.
  • Une variable aléatoire discrète ne peut prendre qu'un nombre fini ou dénombrable de valeurs.
  • Une variable aléatoire continue peut prendre n'importe quelle valeur dans un intervalle donné.
  • La loi de probabilité d'une variable discrète associe à chaque valeur sa probabilité d'occurrence.
  • La fonction de densité de probabilité (fdp) d'une variable continue permet de calculer la probabilité qu'elle se trouve dans un intervalle.
  • L'espérance est la valeur moyenne d'une variable aléatoire.
  • La variance mesure la dispersion des valeurs autour de l'espérance.
  • L'écart-type est la racine carrée de la variance.

← Régression linéaire simple Vocabulaire statistique essentiel : Population, Échantillon, Caractère →

FAQ

  • Quelle est la différence entre une variable aléatoire discrète et une variable aléatoire continue ?

    Une variable aléatoire discrète ne peut prendre qu'un nombre fini ou dénombrable de valeurs (souvent des entiers), tandis qu'une variable aléatoire continue peut prendre n'importe quelle valeur dans un intervalle donné.
  • Comment calculer la probabilité qu'une variable aléatoire continue prenne une valeur spécifique ?

    Théoriquement, la probabilité qu'une variable continue prenne une valeur spécifique est zéro. On calcule plutôt la probabilité qu'elle se trouve dans un intervalle donné en intégrant la fonction de densité de probabilité sur cet intervalle.
  • À quoi sert la fonction de densité de probabilité ?

    La fonction de densité de probabilité (fdp) est une fonction qui décrit la probabilité relative pour une variable aléatoire continue de prendre une valeur donnée. L'intégrale de la fdp sur un intervalle donne la probabilité que la variable se trouve dans cet intervalle.