Résolution d'Équations Exponentielles et Logarithmiques

Introduction aux Équations Exponentielles

Une équation exponentielle est une équation dans laquelle l'inconnue apparaît dans un exposant. La forme générale est a^x = b, où a et b sont des constantes, et x est l'inconnue.

Exemple : 2^x = 8

Pour résoudre ces équations, l'idée principale est d'exprimer les deux côtés de l'équation avec la même base, ou d'utiliser des logarithmes.

Méthode 1 : Uniformisation de la Base

Principe : Si a^x = a^y, alors x = y. Il faut donc transformer l'équation pour avoir la même base de chaque côté.

Exemple 1 : Résoudre 2^x = 8.

• On remarque que 8 peut s'écrire comme 2³.
• Donc, l'équation devient 2^x = 2³.
• Par conséquent, x = 3.

Exemple 2 : Résoudre 3^x+1 = 9.

• On remarque que 9 peut s'écrire comme 3².
• Donc, l'équation devient 3^x+1 = 3².
• Par conséquent, x + 1 = 2, donc x = 1.

Méthode 2 : Utilisation des Logarithmes

Principe : Si on ne peut pas facilement uniformiser la base, on utilise les logarithmes. On applique le logarithme (naturel ou base 10) aux deux côtés de l'équation.

Exemple 1 : Résoudre 5^x = 12.

• On applique le logarithme népérien (ln) aux deux côtés : ln(5^x) = ln(12).
• On utilise la propriété des logarithmes : x * ln(5) = ln(12).
• Donc, x = ln(12) / ln(5) ≈ 1.544.

Exemple 2 : Résoudre 2^3x-1 = 7.

• On applique le logarithme népérien (ln) aux deux côtés : ln(2^3x-1) = ln(7).
• On utilise la propriété des logarithmes : (3x - 1) * ln(2) = ln(7).
• Donc, 3x - 1 = ln(7) / ln(2).
• Donc, 3x = (ln(7) / ln(2)) + 1.
• Finalement, x = ((ln(7) / ln(2)) + 1) / 3 ≈ 1.271.

Introduction aux Équations Logarithmiques

Une équation logarithmique est une équation dans laquelle l'inconnue apparaît dans un logarithme. La forme générale est log_a(x) = b, où a est la base du logarithme, x est l'argument, et b est une constante.

Exemple : log₂(x) = 3

Pour résoudre ces équations, on utilise la définition du logarithme pour transformer l'équation en une forme plus simple.

Résolution des Équations Logarithmiques

Principe : Si log_a(x) = b, alors x = a^b. Il faut donc isoler le logarithme et ensuite appliquer la définition.

Exemple 1 : Résoudre log₂(x) = 3.

• Selon la définition, x = 2³.
• Donc, x = 8.

Exemple 2 : Résoudre log₃(2x + 1) = 2.

• Selon la définition, 2x + 1 = 3².
• Donc, 2x + 1 = 9.
• Donc, 2x = 8.
• Finalement, x = 4.

Attention : Il est crucial de vérifier la solution dans l'équation originale pour s'assurer que l'argument du logarithme est positif.

Équations Logarithmiques avec Plusieurs Logarithmes

Lorsque l'équation contient plusieurs logarithmes, on utilise les propriétés des logarithmes pour simplifier l'équation avant de la résoudre.

Propriétés importantes :

• log_a(x) + log_a(y) = log_a(xy)
• log_a(x) - log_a(y) = log_a(x/y)
• c * log_a(x) = log_a(x^c)

Exemple : Résoudre log₂(x) + log₂(x - 2) = 3.

• On utilise la propriété d'addition : log₂(x(x - 2)) = 3.
• Donc, log₂(x² - 2x) = 3.
• Selon la définition, x² - 2x = 2³.
• Donc, x² - 2x = 8.
• Donc, x² - 2x - 8 = 0.
• On résout l'équation quadratique : (x - 4)(x + 2) = 0.
• Les solutions sont x = 4 et x = -2.
• On vérifie les solutions dans l'équation originale :
• Pour x = 4 : log₂(4) + log₂(4 - 2) = 2 + 1 = 3. Valide.
• Pour x = -2 : log₂(-2) n'est pas défini. Invalide.
• Donc, la seule solution est x = 4.

Inéquations Exponentielles

Les inéquations exponentielles sont des inéquations où l'inconnue apparaît dans un exposant. La méthode de résolution est similaire aux équations, mais il faut faire attention au sens de l'inégalité.

Principe :

• Si a > 1, alors a^x > a^y implique x > y.
• Si 0 < a < 1, alors a^x > a^y implique x < y.

Exemple : Résoudre 2^x > 8.

• On remarque que 8 = 2³.
• Donc, 2^x > 2³.
• Comme la base est supérieure à 1, x > 3.

Inéquations Logarithmiques

Les inéquations logarithmiques sont des inéquations où l'inconnue apparaît dans un logarithme. La méthode de résolution est similaire aux équations, mais il faut faire attention au domaine de définition du logarithme (l'argument doit être positif) et au sens de l'inégalité selon la base.

Principe :

• Si a > 1, alors log_a(x) > log_a(y) implique x > y (et x > 0, y > 0).
• Si 0 < a < 1, alors log_a(x) > log_a(y) implique x < y (et x > 0, y > 0).

Exemple : Résoudre log₂(x) > 3.

• Selon la définition, x > 2³.
• Donc, x > 8.
• De plus, x doit être positif, donc x > 0. La solution est donc x > 8.

Ce qu'il faut retenir

• Équations Exponentielles : Uniformiser la base ou utiliser les logarithmes.
• Équations Logarithmiques : Isoler le logarithme et utiliser la définition (log_a(x) = b => x = a^b).
• Propriétés des Logarithmes : log_a(x) + log_a(y) = log_a(xy), log_a(x) - log_a(y) = log_a(x/y), c * log_a(x) = log_a(x^c).
• Inéquations Exponentielles : Attention au sens de l'inégalité selon la base.
• Inéquations Logarithmiques : Attention au domaine de définition du logarithme et au sens de l'inégalité selon la base. Vérifier que l'argument du log est toujours strictement positif.