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Exercices Corrigés : Maîtriser les Angles Orientés et les Radians

Consolidez votre compréhension des angles orientés et des radians avec cette série d'exercices corrigés. Chaque exercice est conçu pour vous aider à appliquer les concepts clés et à développer vos compétences en trigonométrie.

Exercice 1 : Conversion Degrés - Radians

Énoncé : Convertir les angles suivants en radians : 30°, 135°, 270°. Correction :

  • 30° = 30 * (π/180) = π/6 radians
  • 135° = 135 * (π/180) = 3π/4 radians
  • 270° = 270 * (π/180) = 3π/2 radians

Exercice 2 : Conversion Radians - Degrés

Énoncé : Convertir les angles suivants en degrés : π/3 radians, 5π/6 radians, 7π/4 radians. Correction :

  • π/3 radians = (π/3) * (180/π) = 60°
  • 5π/6 radians = (5π/6) * (180/π) = 150°
  • 7π/4 radians = (7π/4) * (180/π) = 315°

Exercice 3 : Placement sur le Cercle Trigonométrique

Énoncé : Placer les angles suivants sur le cercle trigonométrique : π/4, 2π/3, -π/6. Correction :

  • π/4 : Angle de 45° dans le premier quadrant.
  • 2π/3 : Angle de 120° dans le deuxième quadrant.
  • -π/6 : Angle de -30° (330°) dans le quatrième quadrant.
Il est utile de dessiner le cercle trigonométrique et de marquer les points correspondants à ces angles.

Exercice 4 : Angles Associés

Énoncé : Sachant que cos(π/6) = √3/2 et sin(π/6) = 1/2, calculer cos(5π/6) et sin(7π/6). Correction :

  • 5π/6 = π - π/6. Donc cos(5π/6) = cos(π - π/6) = -cos(π/6) = -√3/2 et sin(5π/6) = sin(π - π/6) = sin(π/6) = 1/2.
  • 7π/6 = π + π/6. Donc cos(7π/6) = cos(π + π/6) = -cos(π/6) = -√3/2 et sin(7π/6) = sin(π + π/6) = -sin(π/6) = -1/2.

Exercice 5 : Résolution d'une équation trigonométrique simple

Énoncé : Résoudre l'équation sin(x) = 1/2 pour x ∈ [0, 2π[. Correction :

  • On sait que sin(π/6) = 1/2. Donc x = π/6 est une solution.
  • On sait aussi que sin(π - θ) = sin(θ). Donc sin(π - π/6) = sin(5π/6) = 1/2. Donc x = 5π/6 est une autre solution.
  • Les solutions dans l'intervalle [0, 2π[ sont x = π/6 et x = 5π/6.

Ce qu'il faut retenir

  • Conversion degrés-radians : Essentiel pour manipuler les angles.
  • Cercle trigonométrique : Visualisation des angles et de leurs sinus/cosinus.
  • Angles associés : Simplification des calculs trigonométriques.
  • Résolution d'équations trigonométriques : Utilisation des angles associés et du cercle trigonométrique.
La pratique régulière d'exercices est cruciale pour maîtriser les concepts et développer des compétences en trigonométrie.

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FAQ

  • Pourquoi est-il important de connaître les angles associés ?

    Les angles associés permettent de simplifier les calculs trigonométriques et de résoudre des équations plus facilement. Ils sont fondamentaux pour la manipulation des fonctions trigonométriques.
  • Comment vérifier si une solution d'une équation trigonométrique est correcte ?

    Vous pouvez vérifier en remplaçant la solution dans l'équation originale et en vous assurant que l'égalité est vérifiée.
  • Y a-t-il d'autres méthodes pour résoudre des équations trigonométriques ?

    Oui, il existe des méthodes graphiques et numériques, mais la connaissance des angles associés et du cercle trigonométrique est souvent la méthode la plus efficace pour les équations simples.