Exercices Corrigés : Maîtriser les Angles Orientés et les Radians

Exercice 1 : Conversion Degrés - Radians

Énoncé : Convertir les angles suivants en radians : 30°, 135°, 270°. Correction :

• 30° = 30 * (π/180) = π/6 radians
• 135° = 135 * (π/180) = 3π/4 radians
• 270° = 270 * (π/180) = 3π/2 radians

Exercice 2 : Conversion Radians - Degrés

Énoncé : Convertir les angles suivants en degrés : π/3 radians, 5π/6 radians, 7π/4 radians. Correction :

• π/3 radians = (π/3) * (180/π) = 60°
• 5π/6 radians = (5π/6) * (180/π) = 150°
• 7π/4 radians = (7π/4) * (180/π) = 315°

Exercice 3 : Placement sur le Cercle Trigonométrique

Énoncé : Placer les angles suivants sur le cercle trigonométrique : π/4, 2π/3, -π/6. Correction :

• π/4 : Angle de 45° dans le premier quadrant.
• 2π/3 : Angle de 120° dans le deuxième quadrant.
• -π/6 : Angle de -30° (330°) dans le quatrième quadrant.

Exercice 4 : Angles Associés

Énoncé : Sachant que cos(π/6) = √3/2 et sin(π/6) = 1/2, calculer cos(5π/6) et sin(7π/6). Correction :

• 5π/6 = π - π/6. Donc cos(5π/6) = cos(π - π/6) = -cos(π/6) = -√3/2 et sin(5π/6) = sin(π - π/6) = sin(π/6) = 1/2.
• 7π/6 = π + π/6. Donc cos(7π/6) = cos(π + π/6) = -cos(π/6) = -√3/2 et sin(7π/6) = sin(π + π/6) = -sin(π/6) = -1/2.

Exercice 5 : Résolution d'une équation trigonométrique simple

Énoncé : Résoudre l'équation sin(x) = 1/2 pour x ∈ [0, 2π[. Correction :

• On sait que sin(π/6) = 1/2. Donc x = π/6 est une solution.
• On sait aussi que sin(π - θ) = sin(θ). Donc sin(π - π/6) = sin(5π/6) = 1/2. Donc x = 5π/6 est une autre solution.
• Les solutions dans l'intervalle [0, 2π[ sont x = π/6 et x = 5π/6.

Ce qu'il faut retenir

• Conversion degrés-radians : Essentiel pour manipuler les angles.
• Cercle trigonométrique : Visualisation des angles et de leurs sinus/cosinus.
• Angles associés : Simplification des calculs trigonométriques.
• Résolution d'équations trigonométriques : Utilisation des angles associés et du cercle trigonométrique.