Introduction au Modus Ponens et au Modus Tollens

Qu'est-ce que la Logique Propositionnelle ?

La logique propositionnelle est une branche de la logique qui étudie les propositions et leurs relations. Une proposition est un énoncé déclaratif qui peut être soit vrai, soit faux. Par exemple, 'Le soleil brille' est une proposition. Nous utilisons des symboles (variables propositionnelles) pour représenter ces propositions, généralement les lettres p, q, r, etc. Nous pouvons aussi combiner ces propositions avec des connecteurs logiques (ET, OU, NON, IMPLICATION, EQUIVALENCE) pour former des propositions plus complexes. L'objectif est de déterminer la validité d'arguments basés sur ces propositions.

L'Implication Logique (Si...Alors...)

Le connecteur logique le plus important pour comprendre le Modus Ponens et le Modus Tollens est l'implication, notée '→'. Une implication 'p → q' se lit 'Si p alors q'. 'p' est l'hypothèse (ou l'antécédent) et 'q' est la conclusion (ou le conséquent). Une implication est fausse seulement si 'p' est vraie et 'q' est fausse. Dans tous les autres cas, elle est vraie. Par exemple, 'Si il pleut (p), alors le sol est mouillé (q)' (p → q). Si il pleut effectivement et que le sol n'est pas mouillé, alors l'implication est fausse. Sinon, elle est vraie.

Le Modus Ponens (Affirmation de l'Antécédent)

Le Modus Ponens est une règle de déduction fondamentale qui affirme que si nous avons une implication 'p → q' et que nous savons que 'p' est vraie, alors nous pouvons conclure que 'q' est également vraie. En d'autres termes :

Si :
- p → q (Si p alors q)
- p (p est vraie)
Alors :
- q (q est vraie)

Considérons l'exemple précédent : 'Si il pleut (p), alors le sol est mouillé (q)' (p → q). Si nous savons qu'il pleut (p est vraie), alors nous pouvons logiquement conclure que le sol est mouillé (q est vraie). C'est une règle de déduction très intuitive et souvent utilisée dans la vie quotidienne.

Exemples de Modus Ponens

Voici quelques exemples pour illustrer le Modus Ponens:

Exemple 1:
- Si je réussis mon examen (p), alors je serai content(e) (q). (p → q)
- Je réussis mon examen (p).
- Donc, je serai content(e) (q).

Exemple 2:
- Si un nombre est divisible par 4 (p), alors il est divisible par 2 (q). (p → q)
- 12 est divisible par 4 (p).
- Donc, 12 est divisible par 2 (q).

Le Modus Ponens est valide car si l'implication 'p → q' est vraie et que 'p' est vraie, 'q' doit nécessairement être vraie.

Le Modus Tollens (Négation du Conséquent)

Le Modus Tollens est une autre règle de déduction fondamentale qui affirme que si nous avons une implication 'p → q' et que nous savons que 'q' est fausse, alors nous pouvons conclure que 'p' est également fausse. En d'autres termes :

Si :
- p → q (Si p alors q)
- ¬q (q est fausse, où ¬ représente la négation)
Alors :
- ¬p (p est fausse)

Revenons à notre exemple : 'Si il pleut (p), alors le sol est mouillé (q)' (p → q). Si nous constatons que le sol n'est pas mouillé (¬q), alors nous pouvons logiquement conclure qu'il ne pleut pas (¬p). Il est crucial de bien comprendre que le Modus Tollens ne dit pas que si le sol est mouillé, alors il pleut, car le sol pourrait être mouillé pour d'autres raisons (arrosage, etc.).

Exemples de Modus Tollens

Voici quelques exemples pour illustrer le Modus Tollens:

Exemple 1:
- Si je réussis mon examen (p), alors je serai content(e) (q). (p → q)
- Je ne suis pas content(e) (¬q).
- Donc, je n'ai pas réussi mon examen (¬p).

Exemple 2:
- Si un nombre est divisible par 4 (p), alors il est divisible par 2 (q). (p → q)
- 15 n'est pas divisible par 2 (¬q).
- Donc, 15 n'est pas divisible par 4 (¬p).

Le Modus Tollens est valide car si l'implication 'p → q' est vraie et que 'q' est fausse, 'p' ne peut pas être vraie (sinon 'q' serait vraie).

Différences Clés entre Modus Ponens et Modus Tollens

La principale différence réside dans ce que nous savons et ce que nous pouvons conclure :

- Modus Ponens: On affirme l'hypothèse (p est vraie) pour conclure à l'affirmation de la conclusion (q est vraie).
- Modus Tollens: On nie la conclusion (q est fausse) pour conclure à la négation de l'hypothèse (p est fausse).

Il est important de ne pas confondre ces deux règles. Une erreur fréquente est de penser que si 'q' est vraie, alors 'p' doit être vraie (ce qui est une erreur logique appelée l'affirmation du conséquent). De même, il est incorrect de penser que si 'p' est fausse, alors 'q' doit être fausse (erreur logique appelée la négation de l'antécédent).

Table de Vérité et Règles de Déduction

Pour comprendre la validité du Modus Ponens et du Modus Tollens, il peut être utile de considérer la table de vérité de l'implication (p → q). Rappelons que l'implication est seulement fausse quand p est vrai et q est faux.

Table de vérité de p → q:
<table> <tr><th>p</th><th>q</th><th>p → q</th></tr> <tr><td>Vrai</td><td>Vrai</td><td>Vrai</td></tr> <tr><td>Vrai</td><td>Faux</td><td>Faux</td></tr> <tr><td>Faux</td><td>Vrai</td><td>Vrai</td></tr> <tr><td>Faux</td><td>Faux</td><td>Vrai</td></tr> </table>

- Modus Ponens: Si p → q est vrai et p est vrai, alors q doit être vrai (la première ligne de la table de vérité).
- Modus Tollens: Si p → q est vrai et q est faux, alors p doit être faux (la quatrième ligne de la table de vérité).

Ce qu'il faut retenir

• Logique Propositionnelle : Étude des propositions et de leurs relations via des connecteurs logiques.
• Implication (p → q) : 'Si p alors q'. Fausse seulement si p est vraie et q est fausse.
• Modus Ponens : Si p → q et p est vraie, alors q est vraie.
• Modus Tollens : Si p → q et q est fausse, alors p est fausse.
• Différences clés : Modus Ponens affirme l'antécédent, Modus Tollens nie le conséquent.
• Erreurs courantes : Ne pas confondre avec l'affirmation du conséquent ou la négation de l'antécédent.