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Fonction Dérivée : Définition, Calcul et Applications

Un guide complet sur la fonction dérivée, incluant sa définition, les méthodes de calcul, des exemples concrets et ses applications en physique et en économie. Parfait pour les élèves de lycée préparant le baccalauréat.

Définition de la Fonction Dérivée

La fonction dérivée, notée f'(x), d'une fonction f(x) représente la pente de la tangente à la courbe de f(x) en chaque point x. Plus précisément, f'(a) est la limite du taux d'accroissement de f(x) lorsque x tend vers a. Mathématiquement : f'(a) = lim (h -> 0) [f(a + h) - f(a)] / h Si cette limite existe, on dit que f est dérivable en a. Si f est dérivable en tout point d'un intervalle I, alors on peut définir la fonction dérivée f' sur I. En termes plus simples, la fonction dérivée nous donne la vitesse à laquelle la fonction originale change en chaque point.

Calcul des Dérivées : Règles de Base

Pour calculer les dérivées, il existe plusieurs règles fondamentales à connaître :

  1. Dérivée d'une constante : Si f(x) = c (où c est une constante), alors f'(x) = 0. Exemple : Si f(x) = 5, alors f'(x) = 0.
  2. Dérivée de x : Si f(x) = x, alors f'(x) = 1.
  3. Dérivée d'une puissance : Si f(x) = xn (où n est un réel), alors f'(x) = n * x(n-1). Exemple : Si f(x) = x3, alors f'(x) = 3x2.
  4. Dérivée d'une somme : Si f(x) = u(x) + v(x), alors f'(x) = u'(x) + v'(x). Exemple : Si f(x) = x2 + 3x, alors f'(x) = 2x + 3.
  5. Dérivée d'un produit : Si f(x) = u(x) * v(x), alors f'(x) = u'(x) * v(x) + u(x) * v'(x). Exemple : Si f(x) = x2 * sin(x), alors f'(x) = 2x * sin(x) + x2 * cos(x).
  6. Dérivée d'un quotient : Si f(x) = u(x) / v(x), alors f'(x) = [u'(x) * v(x) - u(x) * v'(x)] / [v(x)]2. Exemple : Si f(x) = sin(x) / x, alors f'(x) = [cos(x) * x - sin(x) * 1] / x2.
  7. Dérivée d'une fonction composée (Chain Rule) : Si f(x) = g(h(x)), alors f'(x) = g'(h(x)) * h'(x). Exemple: Si f(x) = sin(x2), alors f'(x) = cos(x2) * 2x.
Il est crucial de bien comprendre et maîtriser ces règles pour calculer les dérivées de fonctions plus complexes.

Tableau des Dérivées Usuelles

Il est utile de connaître les dérivées des fonctions les plus courantes par cœur. Voici un tableau récapitulatif:

Fonction f(x) Dérivée f'(x)
c (constante) 0
x 1
xn n*xn-1
sin(x) cos(x)
cos(x) -sin(x)
tan(x) 1 + tan2(x) = 1/cos2(x)
ex ex
ln(x) 1/x

Exemples Concrets de Calcul de Dérivées

Voyons quelques exemples pour illustrer l'application des règles de dérivation :

  • Exemple 1 : Soit f(x) = 4x3 - 2x2 + x - 7. Alors f'(x) = 12x2 - 4x + 1.
  • Exemple 2 : Soit f(x) = x * ex. En utilisant la règle du produit, f'(x) = 1 * ex + x * ex = ex(1 + x).
  • Exemple 3 : Soit f(x) = sin(2x). En utilisant la règle de la chaîne, f'(x) = cos(2x) * 2 = 2cos(2x).

Applications de la Fonction Dérivée

La fonction dérivée a de nombreuses applications :

  • Étude des variations d'une fonction : Le signe de la dérivée nous indique si la fonction est croissante (f'(x) > 0), décroissante (f'(x) < 0) ou constante (f'(x) = 0). Les points où f'(x) = 0 sont des points critiques potentiels (maximums ou minimums locaux).
  • Recherche des extremums (maximums et minimums) : Pour trouver les extremums d'une fonction, on cherche les points où la dérivée s'annule ou n'est pas définie, puis on étudie le signe de la dérivée autour de ces points.
  • Calcul de la vitesse et de l'accélération en physique : Si la position d'un objet est donnée par une fonction s(t) (où t est le temps), alors la vitesse de l'objet est v(t) = s'(t) et l'accélération est a(t) = v'(t) = s''(t) (la dérivée seconde de la position).
  • Optimisation en économie : La dérivée est utilisée pour maximiser les profits ou minimiser les coûts.
  • Tracé de courbes : L'étude de la dérivée permet de déterminer les points d'inflexion, les tangentes horizontales et verticales, et les asymptotes de la courbe d'une fonction.

Ce qu'il faut retenir

  • La fonction dérivée f'(x) donne la pente de la tangente à la courbe de f(x).
  • Les règles de dérivation (constante, puissance, somme, produit, quotient, chaîne) sont essentielles.
  • Le tableau des dérivées usuelles (sin(x), cos(x), ex, ln(x), etc.) doit être maîtrisé.
  • La dérivée permet d'étudier les variations d'une fonction (croissante, décroissante).
  • Les points où f'(x) = 0 sont des points critiques potentiels (maximums ou minimums locaux).
  • La dérivée seconde donne la concavité de la fonction.
  • La fonction dérivée a des applications en physique (vitesse, accélération), en économie (optimisation) et en tracé de courbes.

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FAQ

  • Comment savoir si une fonction est dérivable en un point ?

    Une fonction est dérivable en un point si la limite du taux d'accroissement existe en ce point, c'est-à-dire si lim (h -> 0) [f(a + h) - f(a)] / h existe et est finie. De plus, la dérivabilité implique la continuité, mais la réciproque est fausse : une fonction peut être continue sans être dérivable (par exemple, la fonction valeur absolue en x=0).
  • Quelle est la différence entre la dérivée et la fonction dérivée ?

    La dérivée en un point 'a' est la valeur de la pente de la tangente à la courbe en ce point (f'(a)). La fonction dérivée est une fonction qui donne la valeur de la dérivée en chaque point où la fonction est dérivable (f'(x)).
  • Comment utiliser la dérivée seconde pour étudier une fonction ?

    La dérivée seconde f''(x) donne des informations sur la concavité de la fonction :
    • Si f''(x) > 0, la fonction est convexe (concavité vers le haut).
    • Si f''(x) < 0, la fonction est concave (concavité vers le bas).
    • Les points où f''(x) = 0 sont des points d'inflexion (changement de concavité).