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Extrema Locaux et Globaux d'une Fonction : Définitions et Méthodes

Comprendre et identifier les extrema locaux et globaux d'une fonction. Ce guide complet, illustré d'exemples, vous permettra de maîtriser ce concept essentiel de l'analyse mathématique.

Introduction aux Extrema

En analyse mathématique, un extremum d'une fonction est une valeur (un point) où la fonction atteint un maximum ou un minimum. Il est crucial de distinguer les extrema locaux des extrema globaux. Cette distinction est essentielle pour comprendre le comportement d'une fonction sur un intervalle donné.

Définitions Clés

  • Maximum Local : Un point c est un maximum local d'une fonction f(x) s'il existe un intervalle ouvert autour de c tel que f(c) ≥ f(x) pour tout x dans cet intervalle. En d'autres termes, f(c) est la plus grande valeur de la fonction f dans un voisinage de c.
  • Minimum Local : Un point c est un minimum local d'une fonction f(x) s'il existe un intervalle ouvert autour de c tel que f(c) ≤ f(x) pour tout x dans cet intervalle. f(c) est la plus petite valeur de la fonction f dans un voisinage de c.
  • Maximum Global (Absolu) : Un point c est un maximum global d'une fonction f(x) si f(c) ≥ f(x) pour tout x dans le domaine de f. C'est la plus grande valeur que la fonction atteint sur tout son domaine.
  • Minimum Global (Absolu) : Un point c est un minimum global d'une fonction f(x) si f(c) ≤ f(x) pour tout x dans le domaine de f. C'est la plus petite valeur que la fonction atteint sur tout son domaine.

Comment Trouver les Extrema Locaux : Utilisation de la Dérivée

La dérivée d'une fonction est un outil puissant pour identifier les extrema locaux. Voici les étapes :
  1. Calculer la dérivée : Trouvez la dérivée première f'(x) de la fonction f(x).
  2. Trouver les points critiques : Résolvez l'équation f'(x) = 0. Les solutions de cette équation sont appelées points critiques. Ce sont les points où la pente de la tangente est nulle, et où la fonction pourrait potentiellement avoir un maximum ou un minimum local. Trouvez également les points où f'(x) n'est pas définie (points singuliers).
  3. Analyse du signe de la dérivée : Étudiez le signe de f'(x) autour de chaque point critique.
    • Si f'(x) change de signe de positif à négatif en x = c, alors f(c) est un maximum local.
    • Si f'(x) change de signe de négatif à positif en x = c, alors f(c) est un minimum local.
    • Si f'(x) ne change pas de signe en x = c, alors f(c) n'est ni un maximum ni un minimum local (c'est un point d'inflexion).

Comment Trouver les Extrema Globaux : Méthode

Pour trouver les extrema globaux d'une fonction sur un intervalle fermé [a, b], vous devez :
  1. Trouver les points critiques : Comme pour les extrema locaux, trouvez tous les points critiques de la fonction dans l'intervalle [a, b].
  2. Évaluer la fonction aux points critiques et aux extrémités : Calculez la valeur de la fonction en chaque point critique trouvé à l'étape 1, ainsi qu'aux extrémités de l'intervalle (f(a) et f(b)).
  3. Comparer les valeurs : La plus grande valeur parmi celles calculées à l'étape 2 est le maximum global, et la plus petite est le minimum global de la fonction sur l'intervalle [a, b].

Exemple Concret : Trouver les Extrema de f(x) = x³ - 6x² + 5 sur l'intervalle [-1, 5]

  1. Calculer la dérivée : f'(x) = 3x² - 12x
  2. Trouver les points critiques : Résolvons 3x² - 12x = 0. On obtient 3x(x - 4) = 0. Donc les points critiques sont x = 0 et x = 4.
  3. Évaluer la fonction aux points critiques et aux extrémités :
    • f(-1) = (-1)³ - 6(-1)² + 5 = -2
    • f(0) = 0³ - 6(0)² + 5 = 5
    • f(4) = 4³ - 6(4)² + 5 = -27
    • f(5) = 5³ - 6(5)² + 5 = -20
  4. Comparer les valeurs :
    • Le maximum global est 5 (atteint en x = 0).
    • Le minimum global est -27 (atteint en x = 4).
Donc, sur l'intervalle [-1, 5], la fonction f(x) = x³ - 6x² + 5 a un maximum global de 5 en x = 0 et un minimum global de -27 en x = 4.

Difficultés Courantes et Erreurs à Éviter

  • Confondre extrema locaux et globaux : Bien comprendre les définitions et la différence entre ces deux types d'extrema.
  • Oublier les extrémités de l'intervalle : Lors de la recherche d'extrema globaux sur un intervalle fermé, toujours évaluer la fonction aux extrémités.
  • Ne pas vérifier le signe de la dérivée : Après avoir trouvé les points critiques, vérifier le signe de la dérivée pour confirmer si ce sont des maximums, des minimums ou des points d'inflexion.
  • Erreurs de calcul de la dérivée : Une dérivée incorrecte mènera à des points critiques incorrects.

Ce qu'il faut retenir

  • Un extremum local est un maximum ou un minimum dans un voisinage particulier d'un point.
  • Un extremum global est le maximum ou le minimum sur l'ensemble du domaine de la fonction.
  • Pour trouver les extrema locaux, on calcule la dérivée, on trouve les points critiques (f'(x) = 0 ou f'(x) non définie), et on analyse le signe de la dérivée autour de ces points.
  • Pour trouver les extrema globaux sur un intervalle fermé, on évalue la fonction aux points critiques et aux extrémités de l'intervalle, puis on compare les valeurs.

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FAQ

  • Quelle est la différence entre un maximum local et un maximum global ?

    Un maximum local est la valeur la plus grande de la fonction dans un intervalle spécifique, tandis qu'un maximum global est la valeur la plus grande de la fonction sur l'ensemble de son domaine.
  • Pourquoi est-il important d'évaluer la fonction aux extrémités de l'intervalle lors de la recherche d'extrema globaux ?

    Les extrema globaux peuvent se trouver aux extrémités de l'intervalle, même s'ils ne sont pas des points critiques. Négliger de vérifier les extrémités peut conduire à une identification incorrecte des extrema globaux.