Résolution de Systèmes d'Inéquations Linéaires

Introduction aux Systèmes d'Inéquations Linéaires

Un système d'inéquations linéaires est un ensemble d'inéquations linéaires impliquant les mêmes variables. La solution d'un tel système est l'ensemble de toutes les valeurs des variables qui satisfont toutes les inéquations du système. Contrairement aux systèmes d'équations qui ont une solution unique (un point), les systèmes d'inéquations ont généralement une infinité de solutions, représentées par une région du plan (ou de l'espace, si l'on considère plus de variables). Cette région est délimitée par les droites (ou plans) correspondant aux équations associées aux inéquations. L'objectif principal est de déterminer cette région, appelée région admissible ou domaine de définition. Nous allons explorer comment trouver cette région à la fois graphiquement et algébriquement.

Résolution Graphique d'un Système de Deux Inéquations Linéaires

La méthode graphique est particulièrement adaptée pour les systèmes de deux inéquations avec deux variables. Voici les étapes à suivre:

1. Tracer les droites associées: Pour chaque inéquation, remplacez le signe d'inégalité (<, >, ≤, ≥) par un signe d'égalité (=). Tracez la droite correspondante. Si l'inégalité est stricte (< ou >), la droite est tracée en pointillé pour indiquer qu'elle n'est pas incluse dans la solution. Si l'inégalité est large (≤ ou ≥), la droite est tracée en trait plein.
2. Déterminer la région solution de chaque inéquation: Chaque droite divise le plan en deux demi-plans. Pour déterminer quel demi-plan représente la solution de l'inéquation, choisissez un point test (par exemple, (0, 0) s'il n'est pas sur la droite). Substituez les coordonnées de ce point dans l'inéquation. Si l'inéquation est vérifiée, le demi-plan contenant le point test est la région solution. Sinon, c'est l'autre demi-plan.
3. Identifier la région admissible: La région admissible est l'intersection de toutes les régions solutions des inéquations du système. C'est la région où toutes les inéquations sont simultanément vérifiées. Elle est souvent hachurée ou colorée pour la mettre en évidence.

Exemple: Considérons le système d'inéquations:

• x + y ≤ 5
• x - y < 1

1. On trace les droites x + y = 5 et x - y = 1. La première est en trait plein, la seconde en pointillé.
2. Pour x + y ≤ 5, on teste le point (0, 0): 0 + 0 ≤ 5 est vrai. Donc, la région solution est le demi-plan contenant (0, 0).
3. Pour x - y < 1, on teste le point (0, 0): 0 - 0 < 1 est vrai. Donc, la région solution est le demi-plan contenant (0, 0).
4. La région admissible est l'intersection des deux demi-plans, délimitée par les droites tracées.

Résolution Algébrique (et pourquoi c'est moins courant pour les inéquations)

Bien qu'il soit possible de résoudre un système d'inéquations *algébriquement* dans certains cas simples, ce n'est généralement pas la méthode privilégiée, surtout pour les inéquations linéaires. La raison principale est la complexité de suivre les changements de signe lors des opérations (multiplication par un nombre négatif, etc.). L'approche graphique offre une visualisation plus claire de la région des solutions. Cependant, voici une idée générale:

1. Exprimer une variable en fonction de l'autre: Dans chaque inéquation, essayez d'isoler une variable en fonction de l'autre. Par exemple, à partir de x + y ≤ 5, on peut obtenir y ≤ 5 - x.
2. Substituer: Substituez l'expression obtenue dans les autres inéquations. Cela réduira le nombre de variables dans ces inéquations.
3. Résoudre: Résolvez les inéquations restantes pour trouver les bornes des variables.
4. Interpréter: Utilisez les bornes trouvées pour décrire la région admissible.

Important: N'oubliez pas de tenir compte des changements de signe lors des opérations! Multiplier ou diviser une inéquation par un nombre négatif inverse le sens de l'inégalité. Exemple (limité): Reprenons l'exemple:

• x + y ≤ 5 => y ≤ 5 - x
• x - y < 1 => y > x - 1

On a donc : x - 1 < y ≤ 5 - x Cette forme nous donne une idée des valeurs que peut prendre y en fonction de x. Cependant, pour avoir une solution complète, il est préférable de revenir à la méthode graphique.

Systèmes d'Inéquations avec Plus de Deux Inéquations

La méthode graphique peut être étendue aux systèmes avec plus de deux inéquations, mais elle devient plus difficile à visualiser. Le principe reste le même: tracer les droites associées à chaque inéquation, déterminer la région solution de chaque inéquation, et identifier la région admissible comme l'intersection de toutes ces régions. Il est crucial d'être précis dans le tracé des droites et d'identifier clairement les régions solutions de chaque inéquation. L'utilisation de différentes couleurs ou hachures peut aider à visualiser la région admissible. Avec plus de deux inéquations, la région admissible peut prendre des formes plus complexes, comme des polygones à plusieurs côtés. Les logiciels de calcul formel (comme GeoGebra) sont très utiles pour résoudre graphiquement des systèmes d'inéquations avec plus de deux inéquations. Ils permettent de tracer facilement les droites et de visualiser la région admissible.

Applications des Systèmes d'Inéquations

Les systèmes d'inéquations ont de nombreuses applications dans divers domaines, notamment:

• Programmation linéaire: Optimisation de fonctions sous contraintes, par exemple, maximiser les profits d'une entreprise en respectant des contraintes de production, de ressources, etc.
• Économie: Modélisation de marchés, analyse de l'offre et de la demande, etc.
• Statistiques: Estimation de paramètres, tests d'hypothèses, etc.
• Ingénierie: Conception de structures, optimisation de processus, etc.

Dans ces applications, les variables représentent des quantités à optimiser (par exemple, quantités de produits à fabriquer, quantités de ressources à utiliser), et les inéquations représentent des contraintes (par exemple, limitations de ressources, exigences de qualité). La résolution d'un système d'inéquations permet de trouver l'ensemble des solutions possibles, c'est-à-dire l'ensemble des valeurs des variables qui satisfont toutes les contraintes. Dans le contexte de la programmation linéaire, l'objectif est de trouver la solution qui optimise une fonction objectif (par exemple, maximiser les profits ou minimiser les coûts) parmi toutes les solutions possibles.

Ce qu'il faut retenir

• Un système d'inéquations linéaires est un ensemble d'inéquations linéaires avec les mêmes variables.
• La région admissible est l'ensemble des solutions du système, c'est-à-dire l'ensemble des points qui satisfont toutes les inéquations.
• Pour résoudre graphiquement un système de deux inéquations, on trace les droites associées à chaque inéquation, on détermine la région solution de chaque inéquation, et on identifie la région admissible comme l'intersection de ces régions.
• La résolution algébrique est moins courante pour les inéquations à cause des changements de signes. La visualisation graphique reste la meilleure méthode.
• Les systèmes d'inéquations ont de nombreuses applications dans divers domaines, notamment la programmation linéaire, l'économie, les statistiques et l'ingénierie.