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Divisibilité dans Z : Comprendre et Maîtriser les Entiers Relatifs

Explorez la divisibilité dans l'ensemble des entiers relatifs (Z). Ce cours détaille les définitions, propriétés, et applications essentielles pour la spécialité Mathématiques en Terminale.

Définition de la divisibilité dans Z

La divisibilité dans l'ensemble des entiers relatifs (Z) est une extension de la divisibilité dans l'ensemble des entiers naturels (N).

On dit qu'un entier relatif a divise un entier relatif b, et on note a | b, s'il existe un entier relatif k tel que b = ka.

En d'autres termes, b est un multiple de a. a est un diviseur de b. Il est crucial de noter que a et b peuvent être positifs, négatifs ou nuls (mais a ne peut pas être nul).

Exemples :

  • 3 | 6 car 6 = 3 * 2
  • -2 | 8 car 8 = (-2) * (-4)
  • 5 | 0 car 0 = 5 * 0
  • -1 | 7 car 7 = (-1) * (-7)

Propriétés fondamentales de la divisibilité dans Z

La divisibilité dans Z possède plusieurs propriétés importantes :

1. Transitivité : Si a | b et b | c, alors a | c.

Démonstration :
Si a | b, alors b = ka pour un certain entier k.
Si b | c, alors c = lb pour un certain entier l.
Donc, c = l(ka) = (lk)a. Puisque lk est un entier, a | c.

2. Combinaison Linéaire : Si a | b et a | c, alors a | (bx + cy) pour tous les entiers x et y.

Démonstration :
Si a | b, alors b = ka pour un certain entier k.
Si a | c, alors c = la pour un certain entier l.
Donc, bx + cy = (ka)x + (la)y = a(kx + ly). Puisque kx + ly est un entier, a | (bx + cy).

3. Divisibilité par 1 et -1 : 1 et -1 divisent tous les entiers relatifs.

Explication :
Pour tout entier a, a = 1 * a et a = (-1) * (-a). Donc, 1 | a et -1 | a.

4. Divisibilité par soi-même : Tout entier non nul divise lui-même.

Explication :
Pour tout entier non nul a, a = a * 1. Donc, a | a.

5. Divisibilité de 0 : Tout entier non nul divise 0.

Explication :
Pour tout entier non nul a, 0 = a * 0. Donc, a | 0.

6. Si a | b et b | a, alors a = b ou a = -b

Démonstration :
Si a | b, alors b = ka pour un certain entier k.
Si b | a, alors a = lb pour un certain entier l.
Donc, b = k(lb) = (kl)b. Donc kl = 1, car b non nul.
Puisque k et l sont des entiers, les solutions possibles sont k = l = 1 ou k = l = -1.
Si k = l = 1, alors a = b.
Si k = l = -1, alors a = -b.

Conséquences et applications

La divisibilité dans Z est utilisée dans de nombreux contextes en mathématiques, notamment :

  • Arithmétique Modulaire : La divisibilité est à la base de l'arithmétique modulaire, utilisée en cryptographie et en théorie des nombres.
  • Recherche de PGCD et PPCM : Les notions de divisibilité sont essentielles pour calculer le Plus Grand Commun Diviseur (PGCD) et le Plus Petit Commun Multiple (PPCM) de deux entiers.
  • Résolution d'équations diophantiennes : La divisibilité intervient dans la recherche de solutions entières d'équations.


Exemple : Montrer que 3 divise n3 - n pour tout entier n.

Démonstration :
n3 - n = n(n2 - 1) = n(n - 1)(n + 1) = (n - 1)n(n + 1).
Il s'agit du produit de trois entiers consécutifs. L'un de ces trois entiers est nécessairement divisible par 3. Donc, 3 divise n3 - n.

Critères de divisibilité

Bien que la définition de la divisibilité soit fondamentale, certains critères permettent de déterminer rapidement si un nombre est divisible par un autre sans effectuer de division.

Quelques critères courants :

  • Divisibilité par 2 : Un nombre est divisible par 2 si son dernier chiffre est pair (0, 2, 4, 6, 8).
  • Divisibilité par 3 : Un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3.
  • Divisibilité par 4 : Un nombre est divisible par 4 si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par 4.
  • Divisibilité par 5 : Un nombre est divisible par 5 si son dernier chiffre est 0 ou 5.
  • Divisibilité par 9 : Un nombre est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9.
  • Divisibilité par 10 : Un nombre est divisible par 10 si son dernier chiffre est 0.

Ce qu'il faut retenir

  • Définition : a | b si et seulement si il existe un entier k tel que b = ka.
  • Transitivité : Si a | b et b | c, alors a | c.
  • Combinaison Linéaire : Si a | b et a | c, alors a | (bx + cy) pour tous entiers x et y.
  • 1 et -1 : 1 et -1 divisent tous les entiers.
  • Divisibilité par 0 : Tout entier non nul divise 0.
  • Critères de divisibilité : Des règles rapides pour vérifier si un nombre est divisible par 2, 3, 4, 5, 9 ou 10.

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FAQ

  • Comment montrer qu'un nombre ne divise pas un autre ?

    Il suffit de montrer qu'il n'existe aucun entier k tel que b = ka. Dans la pratique, on peut souvent utiliser la division euclidienne pour montrer que le reste n'est pas nul.
  • La divisibilité dans Z est-elle la même chose que la divisibilité dans N ?

    Non, la divisibilité dans Z est une extension. Dans Z, on considère également les diviseurs négatifs et les nombres négatifs comme multiples. Dans N, on ne considère que les nombres positifs et 0.
  • Si a | b, est-ce que b | a ?

    Non, en général. Si a | b, alors b = ka pour un certain entier k. Si b | a, alors a = lb pour un certain entier l. Combinant ces deux équations, a = l(ka) = (lk)a. Donc, lk = 1. Étant donné que k et l sont des entiers, les seules solutions sont k = l = 1 ou k = l = -1. Donc, a = b ou a = -b. Si a et b sont différents de zéro, alors a = b ou a = -b.