Mathématiques > Logique et Raisonnement Mathématique > Logique Propositionnelle > Propositions et connecteurs logiques (et, ou, non, implication, équivalence)
Applications de la Logique Propositionnelle : Preuves et Raisonnements
Explorez des applications concrètes de la logique propositionnelle dans le domaine des mathématiques. Découvrez comment les connecteurs logiques peuvent être utilisés pour formaliser des arguments et valider des preuves. Ce guide est conçu pour les élèves de lycée.
Formalisation des Énoncés Mathématiques
La logique propositionnelle nous permet de traduire des énoncés mathématiques en propositions logiques formelles. Cela facilite l'analyse et la validation de raisonnements.
Exemple :
Considérons l'énoncé : « Si un nombre est divisible par 4, alors il est pair. »
On peut le formaliser comme :
P = « Un nombre est divisible par 4 »
Q = « Un nombre est pair »
L'énoncé devient alors : P → Q
Utilisation des Tables de Vérité pour Valider des Arguments
Les tables de vérité peuvent être utilisées pour vérifier la validité d'un argument logique. Si la conclusion est toujours vraie lorsque les prémisses sont vraies, alors l'argument est valide.
Exemple :
Argument : « Si il pleut, alors le sol est mouillé. Il pleut. Donc, le sol est mouillé. »
Formalisation :
P = « Il pleut »
Q = « Le sol est mouillé »
Argument : P → Q, P ∴ Q (modus ponens)
Table de vérité :P Q P → Q P Q Vrai Vrai Vrai Vrai Vrai Vrai Faux Faux Vrai Faux Faux Vrai Vrai Faux Vrai Faux Faux Vrai Faux Faux
Dans la première ligne, où P → Q et P sont vraies, Q est également vraie. Donc, l'argument est valide.
Contre-exemple et Négation d'une proposition
Trouver un contre-exemple est une technique importante pour réfuter une proposition universelle. En termes de logique propositionnelle, cela revient à montrer que la négation de la proposition est vraie.
Exemple :
Proposition : « Tous les nombres premiers sont impairs. »
Pour réfuter cette proposition, on doit trouver un contre-exemple : un nombre premier qui est pair.
Le nombre 2 est premier et pair. Donc, la proposition est fausse.
La négation de la proposition serait : « Il existe au moins un nombre premier qui est pair. » Cette négation est vraie.
Raisonnement par l'absurde
Le raisonnement par l'absurde consiste à supposer le contraire de ce que l'on veut prouver et à montrer que cette supposition mène à une contradiction. Cela prouve alors que la supposition initiale est fausse, et donc que la proposition que l'on voulait prouver est vraie.
Exemple :
Pour prouver que √2 est irrationnel, on suppose que √2 est rationnel. Cela signifie qu'il peut être écrit sous la forme d'une fraction irréductible p/q, où p et q sont des entiers sans facteurs communs.
√(2) = p/q
2 = p²/q²
2q² = p²
p² est donc pair, ce qui implique que p est pair. On peut alors écrire p = 2k, où k est un entier.
2q² = (2k)² = 4k²
q² = 2k²
q² est donc pair, ce qui implique que q est pair.
Donc p et q sont tous les deux pairs, ce qui contredit notre supposition initiale qu'ils n'avaient pas de facteurs communs. Par conséquent, notre supposition que √2 est rationnel est fausse. Donc, √2 est irrationnel.
Ce qu'il faut retenir
FAQ
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Comment utiliser la logique propositionnelle pour prouver un théorème ?
Pour prouver un théorème en utilisant la logique propositionnelle, vous devez formaliser les hypothèses et la conclusion du théorème en propositions logiques. Ensuite, vous devez démontrer que la conclusion découle logiquement des hypothèses en utilisant des règles d'inférence valides (comme le modus ponens, le modus tollens, etc.) ou en construisant une table de vérité qui montre que la conclusion est toujours vraie lorsque les hypothèses sont vraies. -
Qu'est-ce qu'une tautologie en logique propositionnelle ?
Une tautologie est une proposition composée qui est toujours vraie, quelle que soit la valeur de vérité des propositions simples qui la composent. Par exemple, P ∨ ¬P est une tautologie.