Exercices : Sens de variation des suites numériques

Exercice 1

Énoncé : Déterminer le sens de variation de la suite (u_n) définie par u_n = n / (n + 1), pour n ≥ 0.

Correction :
Calculons u_n+1 - u_n :
u_n+1 = (n+1) / (n+2)
u_n+1 - u_n = [(n+1) / (n+2)] - [n / (n+1)] = [(n+1)² - n(n+2)] / [(n+1)(n+2)] = (n² + 2n + 1 - n² - 2n) / [(n+1)(n+2)] = 1 / [(n+1)(n+2)]
Comme n ≥ 0, (n+1)(n+2) > 0, donc u_n+1 - u_n > 0. La suite (u_n) est donc strictement croissante.

Exercice 2

Énoncé : Déterminer le sens de variation de la suite (v_n) définie par v_n = 5 - 2n.

Correction :
Calculons v_n+1 - v_n :
v_n+1 = 5 - 2(n+1) = 5 - 2n - 2 = 3 - 2n
v_n+1 - v_n = (3 - 2n) - (5 - 2n) = 3 - 2n - 5 + 2n = -2
Comme v_n+1 - v_n = -2 < 0, la suite (v_n) est strictement décroissante.

Exercice 3

Énoncé : Déterminer le sens de variation de la suite (w_n) définie par w₀ = 1 et w_n+1 = √(w_n + 2).

Correction :
Montrons par récurrence que w_n est croissante et majorée par 2.
Initialisation : w₀ = 1 et w₁ = √(1+2) = √3. Donc w₁ > w₀.
Hypothèse de récurrence : supposons que w_n+1 > w_n et w_n < 2.
Montrons que w_n+2 > w_n+1 et w_n+1 < 2.
On a w_n+2 = √(w_n+1 + 2) et w_n+1 = √(w_n + 2). Comme la fonction racine carrée est croissante, si w_n+1 > w_n, alors √(w_n+1 + 2) > √(w_n + 2), donc w_n+2 > w_n+1. De plus, si w_n < 2, alors w_n + 2 < 4, donc √(w_n + 2) < 2, ce qui implique w_n+1 < 2.
Conclusion : par récurrence, la suite (w_n) est croissante et majorée par 2.

Ce qu'il faut retenir

• La méthode de calcul de u_n+1 - u_n est souvent efficace.
• Bien simplifier les expressions obtenues pour faciliter la détermination du signe.
• La récurrence est utile pour les suites définies par récurrence.