Indépendance d'événements : Cours complet et exemples

Définition de l'indépendance

L'indépendance de deux événements est une notion clé en probabilités. Deux événements A et B sont dits indépendants si la réalisation de l'un n'affecte pas la probabilité de réalisation de l'autre. Mathématiquement, cela se traduit par :

• P(A ∩ B) = P(A) * P(B)

Où P(A ∩ B) est la probabilité que A et B se réalisent simultanément, P(A) est la probabilité de A, et P(B) est la probabilité de B. Intuition : Si A et B sont indépendants, savoir que A s'est réalisé ne change pas notre estimation de la chance que B se réalise. En d'autres termes, P(B|A) = P(B).

Probabilité conditionnelle et indépendance

La notion d'indépendance est étroitement liée à celle de probabilité conditionnelle. Rappelons que la probabilité conditionnelle de B sachant A, notée P(B|A), est la probabilité que B se réalise sachant que A s'est déjà réalisé. Elle est définie par :

• P(B|A) = P(A ∩ B) / P(A) (si P(A) ≠ 0)

Si A et B sont indépendants, alors P(B|A) = P(B). C'est-à-dire que la probabilité de B ne dépend pas du fait que A se soit réalisé ou non. De même, P(A|B) = P(A) si P(B) ≠ 0. Important : L'indépendance n'implique pas la mutuelle exclusivité (événements incompatibles). Deux événements mutuellement exclusifs ne peuvent pas être indépendants, sauf si l'un des deux a une probabilité nulle. Si A et B sont incompatibles, P(A ∩ B) = 0. Si A et B sont indépendants, P(A ∩ B) = P(A) * P(B). Donc, pour qu'ils soient à la fois incompatibles et indépendants, il faudrait que P(A) = 0 ou P(B) = 0.

Exemples concrets

Pour bien comprendre l'indépendance, voici quelques exemples:

1. Lancer de deux dés : On lance deux dés équilibrés à six faces. Soit A l'événement « le premier dé donne un 6 » et B l'événement « le second dé donne un 3 ». Les événements A et B sont indépendants car le résultat du premier dé n'influence pas le résultat du second. P(A) = 1/6, P(B) = 1/6, et P(A ∩ B) = (1/6) * (1/6) = 1/36.
2. Tirages avec remise : On tire une carte d'un jeu de 52 cartes, on la remet, puis on tire une autre carte. Soit A l'événement « la première carte est un as » et B l'événement « la seconde carte est un roi ». A et B sont indépendants car le fait de remettre la carte assure que le second tirage est identique au premier en termes de probabilités. P(A) = 4/52, P(B) = 4/52, et P(A ∩ B) = (4/52) * (4/52).
3. Pile ou Face : On lance une pièce équilibrée deux fois. Soit A l'événement « Le premier lancer donne Pile » et B l'événement « Le deuxième lancer donne Face ». Ces événements sont indépendants, car le résultat du premier lancer n'affecte pas le résultat du second.

Contre-exemple : On tire deux cartes d'un jeu de 52 cartes sans remise. Soit A l'événement « la première carte est un as » et B l'événement « la seconde carte est un roi ». A et B ne sont pas indépendants. Si la première carte est un as, il reste moins d'as dans le jeu pour le second tirage, ce qui modifie la probabilité de tirer un roi au second tirage. On peut calculer P(B|A) = 4/51, qui est différent de P(B) = 4/52. Donc, P(A ∩ B) ≠ P(A) * P(B).

Indépendance mutuelle de plusieurs événements

L'indépendance peut être étendue à plus de deux événements. Les événements A₁, A₂, ..., A_n sont dits mutuellement indépendants si, pour tout sous-ensemble {i₁, i₂, ..., i_k} de {1, 2, ..., n} (avec 2 ≤ k ≤ n), on a :

• P(A_i1 ∩ A_i2 ∩ ... ∩ A_ik) = P(A_i1) * P(A_i2) * ... * P(A_ik)

En d'autres termes, pour que n événements soient mutuellement indépendants, il faut que la probabilité de l'intersection de n'importe quel sous-ensemble de ces événements soit égale au produit de leurs probabilités individuelles. Attention : L'indépendance deux à deux n'implique pas l'indépendance mutuelle. Il faut vérifier la condition ci-dessus pour tous les sous-ensembles possibles.

Application : Schéma de Bernoulli et loi binomiale

La notion d'indépendance est fondamentale dans le schéma de Bernoulli et la loi binomiale. Un schéma de Bernoulli est une expérience aléatoire répétée n fois, avec deux issues possibles (succès ou échec) et où les répétitions sont indépendantes. La probabilité de succès (p) est la même à chaque répétition. Si X est la variable aléatoire qui compte le nombre de succès en n répétitions indépendantes, alors X suit une loi binomiale de paramètres n et p, notée B(n, p). La probabilité d'obtenir exactement k succès en n répétitions est donnée par:

• P(X = k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^n-k

Où C(n, k) est le coefficient binomial, qui représente le nombre de façons de choisir k succès parmi n tentatives, et (1-p) est la probabilité d'échec. L'indépendance des répétitions est cruciale pour l'utilisation de la loi binomiale. Si les répétitions n'étaient pas indépendantes, la probabilité de succès changerait à chaque répétition, et la formule ci-dessus ne serait plus valide.

Ce qu'il faut retenir

• Définition : Deux événements A et B sont indépendants si P(A ∩ B) = P(A) * P(B).
• Probabilité conditionnelle : Si A et B sont indépendants, P(B|A) = P(B) et P(A|B) = P(A).
• Indépendance mutuelle : Pour n événements, il faut que la probabilité de l'intersection de tout sous-ensemble soit égale au produit des probabilités.
• Schéma de Bernoulli : Répétition indépendante d'une expérience avec deux issues possibles.
• Loi binomiale : Compte le nombre de succès dans un schéma de Bernoulli.
• Attention : Indépendance n'implique pas mutuelle exclusivité (incompatibilité).