Comprendre et Lever les Formes Indéterminées en Analyse

Introduction aux Formes Indéterminées

En calculant des limites de fonctions, on rencontre souvent des expressions qui ne permettent pas de conclure directement sur la valeur de la limite. Ces expressions sont appelées formes indéterminées. Elles apparaissent lorsque l'on substitue directement la valeur vers laquelle tend la variable dans l'expression de la fonction, et que l'on obtient une expression ambiguë. Les principales formes indéterminées sont:

• 0/0
• ∞/∞
• 0 × ∞
• ∞ - ∞
• 1^∞
• 0⁰
• ∞⁰

La présence d'une forme indéterminée ne signifie pas que la limite n'existe pas, mais simplement qu'il est nécessaire de manipuler l'expression pour lever l'indétermination et déterminer si la limite existe et, le cas échéant, sa valeur.

La Forme Indéterminée 0/0

La forme indéterminée 0/0 se présente lorsque le numérateur et le dénominateur d'une fraction tendent tous les deux vers zéro. Pour lever cette indétermination, on peut utiliser plusieurs techniques :

• Factorisation: Simplifier l'expression en factorisant le numérateur et le dénominateur. Par exemple, pour calculer la limite de (x² - 1)/(x - 1) quand x tend vers 1, on factorise x² - 1 en (x - 1)(x + 1), ce qui permet de simplifier l'expression à (x + 1) et d'obtenir une limite de 2.
• Règle de L'Hôpital: Si les conditions sont réunies (fonctions dérivables, limite du quotient des dérivées existante), on peut dériver le numérateur et le dénominateur séparément et calculer la limite du nouveau quotient.
• Multiplication par le conjugué: Si l'expression contient des racines carrées, multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué peut aider à simplifier et à lever l'indétermination.

Exemple concret:Calculer la limite de (x² - 4)/(x - 2) quand x tend vers 2. Directement, on obtient la forme 0/0. On factorise le numérateur: (x² - 4) = (x - 2)(x + 2). Donc (x² - 4)/(x - 2) = (x - 2)(x + 2)/(x - 2) = x + 2. La limite quand x tend vers 2 est donc 2 + 2 = 4.

La Forme Indéterminée ∞/∞

La forme indéterminée ∞/∞ se présente lorsque le numérateur et le dénominateur d'une fraction tendent tous les deux vers l'infini. Pour lever cette indétermination, on peut utiliser les techniques suivantes:

• Comparaison des degrés: Si ce sont des polynômes, diviser le numérateur et le dénominateur par la plus haute puissance de x présente dans le dénominateur.
• Règle de L'Hôpital: Dériver le numérateur et le dénominateur séparément.

Exemple concret:Calculer la limite de (3x² + 2x + 1)/(x² + x - 2) quand x tend vers l'infini. En divisant le numérateur et le dénominateur par x², on obtient: (3 + 2/x + 1/x²)/(1 + 1/x - 2/x²). Quand x tend vers l'infini, 2/x, 1/x², 1/x et 2/x² tendent vers 0. La limite devient donc 3/1 = 3.

La Forme Indéterminée 0 × ∞

La forme indéterminée 0 × ∞ se présente lorsqu'un facteur tend vers zéro et l'autre tend vers l'infini. Pour lever cette indétermination, on transforme souvent l'expression en une des formes 0/0 ou ∞/∞. Pour cela, on peut écrire le produit comme une fraction:

• Transformer l'expression en 0/0 en écrivant f(x) * g(x) comme f(x) / (1/g(x)) si g(x) tend vers l'infini.
• Transformer l'expression en ∞/∞ en écrivant f(x) * g(x) comme g(x) / (1/f(x)) si f(x) tend vers zéro.

Exemple concret:Calculer la limite de x * ln(x) quand x tend vers 0 (par valeurs supérieures). Ici, x tend vers 0 et ln(x) tend vers -∞. On réécrit l'expression comme ln(x) / (1/x). Maintenant, on a la forme ∞/∞. On peut utiliser la règle de L'Hôpital. La dérivée de ln(x) est 1/x et la dérivée de 1/x est -1/x². Donc, la limite de (1/x) / (-1/x²) = -x quand x tend vers 0 est 0.

La Forme Indéterminée ∞ - ∞

La forme indéterminée ∞ - ∞ se présente lorsqu'on a la différence de deux termes qui tendent tous les deux vers l'infini. Pour lever cette indétermination, on peut essayer les techniques suivantes:

• Factorisation: Essayer de factoriser un terme commun.
• Mise au même dénominateur: Si l'expression contient des fractions, les mettre au même dénominateur peut simplifier l'expression.
• Multiplication par le conjugué: Surtout si l'expression contient des racines carrées.

Exemple concret:Calculer la limite de √(x² + x) - x quand x tend vers l'infini. On a une forme ∞ - ∞. Multiplions par le conjugué: [√(x² + x) - x] * [√(x² + x) + x] / [√(x² + x) + x] = (x² + x - x²) / [√(x² + x) + x] = x / [√(x² + x) + x]. Divisons numérateur et dénominateur par x: 1 / [√(1 + 1/x) + 1]. Quand x tend vers l'infini, 1/x tend vers 0, donc la limite devient 1 / [√(1 + 0) + 1] = 1/2.

Les Formes Indéterminées 1^∞, 0⁰ et ∞⁰

Ces formes indéterminées impliquent des exponentielles. Pour les lever, on utilise généralement la fonction exponentielle et le logarithme naturel. On utilise la propriété a^b = e^b*ln(a). Après cette transformation, on se retrouve souvent avec les formes 0 × ∞ ou ∞/∞, que l'on sait déjà traiter.

• 1^∞: On a une expression de la forme [f(x)]^g(x) où f(x) tend vers 1 et g(x) tend vers l'infini.
• 0⁰: On a une expression de la forme [f(x)]^g(x) où f(x) tend vers 0 et g(x) tend vers 0.
• ∞⁰: On a une expression de la forme [f(x)]^g(x) où f(x) tend vers l'infini et g(x) tend vers 0.

Exemple concret (1^∞): Calculer la limite de (1 + 1/x)^x quand x tend vers l'infini. On a la forme 1^∞. On réécrit l'expression comme e^{x * ln(1 + 1/x)}. Concentrons-nous sur l'exposant: x * ln(1 + 1/x). C'est une forme 0 × ∞ (puisque 1/x tend vers 0 et ln(1 + 0) = ln(1) = 0, donc x * ln(1+1/x) se comporte comme ∞*0). On réécrit comme ln(1 + 1/x) / (1/x). Maintenant, c'est une forme 0/0. En utilisant la règle de L'Hôpital, on dérive le numérateur et le dénominateur. La dérivée de ln(1 + 1/x) est (1/(1 + 1/x)) * (-1/x²) = -1/(x² + x). La dérivée de 1/x est -1/x². Donc, on a [-1/(x² + x)] / [-1/x²] = x² / (x² + x) = 1 / (1 + 1/x). Quand x tend vers l'infini, cette expression tend vers 1. Donc, la limite de (1 + 1/x)^x est e¹ = e.

Ce qu'il faut retenir

• Formes indéterminées: Les expressions 0/0, ∞/∞, 0 × ∞, ∞ - ∞, 1^∞, 0⁰ et ∞⁰ sont des formes indéterminées. Leur présence indique qu'une manipulation algébrique est nécessaire pour évaluer la limite.
• Techniques de levée d'indétermination:
  • Factorisation: Utile pour les formes 0/0.
  • Règle de L'Hôpital: Applicable aux formes 0/0 et ∞/∞ (sous certaines conditions).
  • Multiplication par le conjugué: Utile pour les expressions contenant des racines carrées (formes 0/0 et ∞ - ∞).
  • Comparaison des degrés: Utile pour les formes ∞/∞ avec des polynômes.
  • Transformation en fraction: Utile pour la forme 0 × ∞.
  • Utilisation de l'exponentielle et du logarithme: Utile pour les formes 1^∞, 0⁰ et ∞⁰.
• Importance de la manipulation algébrique: La clé pour lever les indéterminations réside dans la manipulation astucieuse de l'expression pour la transformer en une forme où la limite peut être facilement évaluée.
• La présence d'une forme indéterminée n'implique pas l'inexistence de la limite.