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Applications des Limites en un Point : Continuité et Asymptotes

Ce cours explore les applications essentielles des limites de fonctions en un point, notamment la définition de la continuité et la détermination des asymptotes.

Continuité en un Point

Une fonction f(x) est dite continue en un point a si et seulement si les trois conditions suivantes sont remplies:

  1. f(a) est définie.
  2. limx→a f(x) existe.
  3. limx→a f(x) = f(a).
En d'autres termes, la fonction doit être définie au point, avoir une limite en ce point, et la limite doit être égale à la valeur de la fonction au point. Si au moins une de ces conditions n'est pas vérifiée, la fonction est discontinue en a.

Différents Types de Discontinuités

Il existe plusieurs types de discontinuités :

  • Discontinuité Amovible : La limite existe, mais elle est différente de la valeur de la fonction au point, ou la fonction n'est pas définie au point. On peut 'corriger' la fonction en redéfinissant sa valeur au point pour qu'elle soit égale à la limite.
  • Discontinuité de Saut : Les limites unilatérales existent, mais sont différentes. La fonction fait un 'saut' en ce point.
  • Discontinuité Infinie : La limite est infinie (positive ou négative). Souvent associée à une asymptote verticale.
  • Discontinuité Essentielle : La limite n'existe pas (ni finie, ni infinie).

Asymptotes Verticales

Une asymptote verticale est une droite verticale x = a telle que limx→a+ f(x) = ±∞ ou limx→a- f(x) = ±∞. En d'autres termes, la fonction s'approche infiniment près de la droite verticale lorsque x s'approche de a. Pour trouver les asymptotes verticales, on recherche généralement les valeurs de x qui annulent le dénominateur d'une fraction, tout en vérifiant que le numérateur n'est pas également nul.

Asymptotes Horizontales

Une asymptote horizontale est une droite horizontale y = L telle que limx→+∞ f(x) = L ou limx→-∞ f(x) = L. En d'autres termes, la fonction s'approche de la droite horizontale lorsque x tend vers l'infini positif ou négatif. Pour trouver les asymptotes horizontales, on calcule les limites de la fonction lorsque x tend vers +∞ et -∞.

Asymptotes Obliques

Une asymptote oblique (ou asymptote inclinée) est une droite de la forme y = mx + b (avec m ≠ 0) telle que limx→+∞ [f(x) - (mx + b)] = 0 ou limx→-∞ [f(x) - (mx + b)] = 0. Pour trouver une asymptote oblique, on calcule d'abord la pente m comme limx→±∞ f(x) / x. Ensuite, on calcule l'ordonnée à l'origine b comme limx→±∞ [f(x) - mx]. Si ces limites existent, alors y = mx + b est une asymptote oblique.

Exemples d'Applications

Exemple 1: Étudier la continuité de f(x) = (x2 - 1) / (x - 1) en x = 1. La fonction n'est pas définie en x = 1. Cependant, limx→1 f(x) = limx→1 (x + 1) = 2. Donc, la fonction a une discontinuité amovible en x = 1. Exemple 2: Trouver les asymptotes de f(x) = 1 / (x - 2). Il y a une asymptote verticale en x = 2, car limx→2+ f(x) = +∞ et limx→2- f(x) = -∞. Il y a une asymptote horizontale en y = 0, car limx→±∞ f(x) = 0. Exemple 3: Trouver l'asymptote oblique de f(x) = (x2 + 1) / x. On a m = limx→±∞ f(x) / x = limx→±∞ (x2 + 1) / x2 = 1. Ensuite, b = limx→±∞ [f(x) - mx] = limx→±∞ [(x2 + 1) / x - x] = limx→±∞ 1 / x = 0. Donc, l'asymptote oblique est y = x.

Ce qu'il faut retenir

  • Une fonction est continue en un point si elle est définie en ce point, a une limite en ce point, et la limite est égale à la valeur de la fonction au point.
  • Il existe différents types de discontinuités (amovible, de saut, infinie, essentielle).
  • Les asymptotes verticales se trouvent en recherchant les valeurs de x qui rendent la fonction infinie.
  • Les asymptotes horizontales se trouvent en calculant les limites de la fonction lorsque x tend vers l'infini positif ou négatif.
  • Les asymptotes obliques se trouvent en calculant la pente et l'ordonnée à l'origine des droites vers lesquelles la fonction tend à l'infini.

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FAQ

  • Comment déterminer si une discontinuité est amovible ?

    Calculez la limite de la fonction au point. Si la limite existe mais est différente de la valeur de la fonction au point (ou si la fonction n'est pas définie au point), la discontinuité est amovible.
  • Est-ce qu'une fonction peut avoir à la fois une asymptote horizontale et une asymptote oblique ?

    Non, une fonction ne peut pas avoir à la fois une asymptote horizontale et une asymptote oblique. Si une fonction a une asymptote oblique, elle n'aura pas d'asymptote horizontale.
  • Comment trouver rapidement une asymptote verticale?

    Identifier les valeurs de x qui annulent le dénominateur de la fonction, mais pas le numérateur. Vérifier le comportement de la fonction à gauche et à droite de ces valeurs.