Fonction Exponentielle : Une Exploration Complète

Définition de la Fonction Exponentielle

La fonction exponentielle, notée généralement f(x) = a^x, où 'a' est un nombre réel positif différent de 1 (a > 0 et a ≠ 1), est une fonction fondamentale en mathématiques. Le nombre 'a' est appelé la base de la fonction exponentielle.

Cas Particulier : La fonction exponentielle naturelle, notée e^x, est un cas particulier où la base 'a' est le nombre d'Euler (e ≈ 2.71828). Elle est extrêmement importante en analyse et apparaît dans de nombreux contextes mathématiques et scientifiques. On la note souvent exp(x).

Propriétés Fondamentales

La fonction exponentielle possède plusieurs propriétés importantes :

• a⁰ = 1 : Pour toute base 'a', la fonction exponentielle évaluée en 0 est égale à 1. Ceci est dû au fait que tout nombre non nul élevé à la puissance 0 est égal à 1.
• a¹ = a : La fonction exponentielle évaluée en 1 est égale à la base 'a'.
• a^x+y = a^x * a^y : La fonction exponentielle transforme les sommes en produits. C'est une propriété très utile pour simplifier les expressions.
• a^x-y = a^x / a^y : La fonction exponentielle transforme les différences en quotients.
• (a^x)^y = a^xy : Lorsque l'on élève une puissance à une autre puissance, on multiplie les exposants.
• Si a > 1, la fonction est strictement croissante : Lorsque x augmente, a^x augmente également.
• Si 0 < a < 1, la fonction est strictement décroissante : Lorsque x augmente, a^x diminue.

• 2³ * 2² = 2³⁺² = 2⁵ = 32
• (3²)³ = 3^2*3 = 3⁶ = 729

Représentation Graphique

La représentation graphique de la fonction exponentielle a une forme caractéristique. Elle passe toujours par le point (0, 1).

Cas a > 1 : La courbe croît de manière exponentielle, tendant vers l'infini lorsque x tend vers l'infini, et s'approche de 0 lorsque x tend vers moins l'infini.

Cas 0 < a < 1 : La courbe décroît de manière exponentielle, tendant vers l'infini lorsque x tend vers moins l'infini, et s'approche de 0 lorsque x tend vers l'infini.

Fonction exponentielle naturelle (e^x) : C'est une fonction croissante dont la pente augmente constamment. Elle est particulièrement importante car sa dérivée est elle-même.

Applications

La fonction exponentielle a de nombreuses applications dans divers domaines :

• Croissance et Décroissance : Modélisation de la croissance d'une population, la désintégration radioactive, etc.
• Finance : Calcul des intérêts composés.
• Physique : Décrit de nombreux phénomènes comme la décharge d'un condensateur.

Ce qu'il faut retenir

• La fonction exponentielle est définie par f(x) = a^x, où a > 0 et a ≠ 1.
• a⁰ = 1 et a¹ = a.
• a^x+y = a^x * a^y et a^x-y = a^x / a^y.
• (a^x)^y = a^xy.
• Si a > 1, la fonction est croissante ; si 0 < a < 1, elle est décroissante.
• La courbe passe toujours par le point (0, 1).
• La fonction exponentielle naturelle est e^x.