Espérance, Variance et Écart-type : Variables Aléatoires Discrètes

Introduction aux Variables Aléatoires Discrètes

Une variable aléatoire discrète est une variable dont les valeurs possibles sont isolées et dénombrables. Pensez au nombre de faces 'pile' obtenues lorsqu'on lance une pièce de monnaie plusieurs fois, ou au nombre d'enfants dans une famille. Chaque valeur possible a une probabilité associée.

Définition de l'Espérance Mathématique

L'espérance mathématique (ou moyenne) d'une variable aléatoire discrète X, notée E(X), représente la valeur moyenne que l'on s'attend à observer si l'expérience était répétée un grand nombre de fois. Elle se calcule en pondérant chaque valeur possible par sa probabilité.

Formellement, si X peut prendre les valeurs x₁, x₂, ..., x_n avec les probabilités respectives p₁, p₂, ..., p_n, alors:

E(X) = x₁p₁ + x₂p₂ + ... + x_np_n = Σ x_ip_i

Exemple: Imaginez un jeu où vous gagnez 1€ avec une probabilité de 0.5 et 5€ avec une probabilité de 0.5. L'espérance de gain est E(X) = (1€ * 0.5) + (5€ * 0.5) = 3€. En moyenne, vous pouvez espérer gagner 3€ par partie.

Calcul de la Variance

La variance d'une variable aléatoire discrète X, notée V(X), mesure la dispersion des valeurs autour de l'espérance. Une variance élevée indique que les valeurs sont très dispersées, tandis qu'une variance faible indique qu'elles sont concentrées autour de la moyenne.

Pour calculer la variance, on utilise la formule suivante:

V(X) = E[(X - E(X))²] = Σ (x_i - E(X))² * p_i

Une formule alternative et souvent plus pratique est:

V(X) = E(X²) - [E(X)]² = Σ x_i² * p_i - [E(X)]²

Exemple: Reprenons le jeu précédent. E(X) = 3€. Calculons V(X) en utilisant la première formule :
V(X) = ((1 - 3)² * 0.5) + ((5 - 3)² * 0.5) = (4 * 0.5) + (4 * 0.5) = 4. Avec la deuxième formule : E(X²) = (1² * 0.5) + (5² * 0.5) = 0.5 + 12.5 = 13. V(X) = 13 - 3² = 13 - 9 = 4.

Détermination de l'Écart-type

L'écart-type d'une variable aléatoire discrète X, noté σ(X), est la racine carrée de la variance. Il s'exprime dans la même unité que la variable aléatoire et est donc plus facile à interpréter que la variance.

σ(X) = √V(X)

Exemple: Dans notre exemple, l'écart-type est σ(X) = √4 = 2. Cela signifie que, en moyenne, les gains observés s'écartent de 2€ de la moyenne (3€).

Exemple Concret: Lancer d'un Dé

Considérons le lancer d'un dé équilibré à 6 faces. La variable aléatoire X représente le nombre obtenu. X peut prendre les valeurs 1, 2, 3, 4, 5, ou 6, chacune avec une probabilité de 1/6.

Espérance: E(X) = (1 * 1/6) + (2 * 1/6) + (3 * 1/6) + (4 * 1/6) + (5 * 1/6) + (6 * 1/6) = 3.5

Variance: V(X) = Σ x_i² * p_i - [E(X)]² = (1² * 1/6) + (2² * 1/6) + (3² * 1/6) + (4² * 1/6) + (5² * 1/6) + (6² * 1/6) - (3.5)² = 91/6 - 49/4 = 35/12 ≈ 2.92

Écart-type: σ(X) = √(35/12) ≈ 1.71

Application à des situations réelles

Ces concepts sont utilisés dans de nombreux domaines :

• Finance: pour évaluer le risque d'un investissement.
• Assurances: pour calculer les primes d'assurance.
• Jeux de hasard: pour analyser l'équité d'un jeu.
• Statistiques: pour décrire et comparer des ensembles de données.

Ce qu'il faut retenir

• Espérance: Valeur moyenne d'une variable aléatoire, E(X) = Σ x_ip_i.
• Variance: Mesure la dispersion des valeurs autour de l'espérance, V(X) = E(X²) - [E(X)]².
• Écart-type: Racine carrée de la variance, σ(X) = √V(X), plus facile à interpréter que la variance.
• L'espérance est une moyenne pondérée.
• La variance mesure à quel point les valeurs sont éloignées de la moyenne.
• L'écart-type fournit une mesure de la dispersion dans les mêmes unités que la variable aléatoire.