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Approfondissement : Suites Définies par une Relation de Récurrence

Exploration détaillée des suites définies par une relation de récurrence. Apprenez à manipuler et à comprendre ces suites, et découvrez des exemples et des applications.

Rappel : Définition d'une Suite Récurrente

Comme nous l'avons vu, une suite est définie par récurrence lorsqu'un terme est exprimé en fonction du ou des termes qui le précèdent. Formellement, une suite (un) est définie par récurrence si l'on a :

  • Un ou plusieurs termes initiaux : par exemple, u0 = a.
  • Une relation de récurrence : un+1 = f(un) (relation d'ordre 1) ou un+1 = f(un, un-1) (relation d'ordre 2), etc.
La fonction f est appelée la fonction de récurrence.

Ordre d'une Relation de Récurrence

L'ordre d'une relation de récurrence correspond au nombre de termes précédents nécessaires pour calculer le terme suivant. Ainsi :

  • Une relation de récurrence d'ordre 1 exprime un+1 en fonction de un. Exemple : un+1 = 2un + 3.
  • Une relation de récurrence d'ordre 2 exprime un+1 en fonction de un et un-1. Exemple : un+1 = un + un-1 (suite de Fibonacci).
Plus généralement, une relation d'ordre k exprime un+1 en fonction de un, un-1, ..., un-k+1. Il est important de noter que pour une relation d'ordre k, il faut connaître k termes initiaux pour pouvoir démarrer le calcul de la suite.

Exemples de Suites Récurrentes Célèbres

Plusieurs suites définies par récurrence sont célèbres pour leurs propriétés et leurs applications :

  • Suite de Fibonacci : Définie par u0 = 0, u1 = 1 et un+2 = un+1 + un. Les premiers termes sont 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... Elle apparaît dans de nombreux domaines, comme la nature, l'architecture et la finance.
  • Suite Arithmético-Géométrique : Définie par un+1 = aun + b. Cette suite combine une progression arithmétique (ajout d'une constante b) et une progression géométrique (multiplication par une constante a).
  • Suite Logistique : Définie par un+1 = r un (1 - un), où r est un paramètre. Cette suite est un exemple simple de système dynamique qui peut présenter un comportement chaotique.
Ces suites illustrent la richesse et la diversité des suites définies par récurrence.

Calcul des Termes d'une Suite Récurrente

Le calcul des termes d'une suite définie par récurrence est simple en principe, mais peut devenir fastidieux si l'on veut calculer des termes éloignés. Pour calculer un, il faut calculer tous les termes précédents : u0, u1, ..., un-1.

L'utilisation d'un tableur (comme Excel ou Google Sheets) est très pratique pour calculer rapidement les premiers termes d'une suite récurrente. Il suffit de définir les termes initiaux dans les premières cellules et d'utiliser la relation de récurrence pour calculer les termes suivants en utilisant des formules.

La programmation (avec des langages comme Python ou JavaScript) est également une solution efficace pour calculer un grand nombre de termes, surtout si la relation de récurrence est complexe.

Limites de Suites Récurrentes

L'étude de la convergence d'une suite récurrente est un problème important. Si la suite converge, c'est-à-dire si limn→∞ un = L, alors L est appelée la limite de la suite.

Dans certains cas, il est possible de trouver la limite d'une suite récurrente en résolvant l'équation L = f(L), où f est la fonction de récurrence. Cependant, cette méthode ne fonctionne que si la suite converge et si la fonction f est continue. Il est important de vérifier ces conditions avant d'utiliser cette méthode.

De plus, la convergence d'une suite récurrente dépend des valeurs initiales. Une même suite récurrente peut converger vers des limites différentes selon les valeurs initiales, ou même ne pas converger du tout.

Ce qu'il faut retenir

  • Une suite est définie par récurrence si chaque terme dépend du ou des termes précédents.
  • L'ordre d'une relation de récurrence indique le nombre de termes précédents nécessaires pour calculer le terme suivant.
  • Des suites récurrentes célèbres incluent la suite de Fibonacci et les suites arithmético-géométriques.
  • Le calcul des termes d'une suite récurrente peut être facilité par l'utilisation d'un tableur ou d'un programme informatique.
  • L'étude de la convergence d'une suite récurrente est un problème important, et la limite peut parfois être trouvée en résolvant l'équation L = f(L).

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FAQ

  • Qu'est-ce que l'ordre d'une relation de récurrence ?

    L'ordre d'une relation de récurrence indique le nombre de termes précédents nécessaires pour calculer le terme suivant. Par exemple, une relation d'ordre 1 utilise uniquement le terme précédent, tandis qu'une relation d'ordre 2 utilise les deux termes précédents.
  • Comment étudier la convergence d'une suite définie par récurrence ?

    L'étude de la convergence d'une suite récurrente peut être complexe. Une méthode consiste à trouver la limite potentielle L en résolvant l'équation L = f(L), où f est la fonction de récurrence. Cependant, il est crucial de vérifier que la suite converge effectivement et que la fonction f est continue. L'analyse du comportement des premiers termes peut également donner des indications sur la convergence.