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Intersection de droites et de plans dans l'espace

Apprenez à déterminer l'intersection entre des droites et des plans dans l'espace en utilisant leurs équations paramétriques et cartésiennes. Découvrez les différentes configurations possibles et les méthodes de résolution associées.

Introduction

L'étude de l'intersection de droites et de plans est un problème fondamental en géométrie spatiale. Comprendre comment ces objets interagissent nous permet de résoudre une multitude de problèmes, tels que la détermination de la distance d'un point à une droite, la projection d'un point sur un plan, ou la vérification de la coplanarité de plusieurs points. Dans cette section, nous allons explorer les différentes configurations possibles et les méthodes pour trouver l'intersection.

Intersection d'une droite et d'un plan

Méthode : Pour trouver l'intersection d'une droite et d'un plan, on substitue les équations paramétriques de la droite dans l'équation cartésienne du plan. Cela conduit à une équation à une inconnue (le paramètre 't').

Cas possibles :

  • Une solution unique : La droite et le plan se coupent en un seul point. On trouve la valeur de 't' et on la substitue dans les équations paramétriques de la droite pour trouver les coordonnées du point d'intersection.
  • Aucune solution : La droite et le plan sont parallèles et ne se coupent pas.
  • Une infinité de solutions : La droite est incluse dans le plan. Dans ce cas, toute valeur de 't' est solution.

Exemple : Soit la droite définie par les équations paramétriques suivantes :

x = 1 + t
y = 2 - t
z = 3 + 2t

Et le plan défini par l'équation cartésienne :

x + y - z + 1 = 0

Substituons les équations paramétriques dans l'équation cartésienne :

(1 + t) + (2 - t) - (3 + 2t) + 1 = 0
1 + t + 2 - t - 3 - 2t + 1 = 0
1 - 2t = 0
t = 1/2

Substituons t = 1/2 dans les équations paramétriques de la droite :

x = 1 + 1/2 = 3/2
y = 2 - 1/2 = 3/2
z = 3 + 2(1/2) = 4

Donc, le point d'intersection est (3/2, 3/2, 4).

Intersection de deux plans

Méthode : L'intersection de deux plans est généralement une droite (sauf si les plans sont parallèles ou confondus). Pour trouver l'équation paramétrique de cette droite, on résout le système d'équations formé par les équations cartésiennes des deux plans. On exprime ensuite deux des variables en fonction de la troisième (qui devient le paramètre).

Cas possibles :

  • Une droite : Les plans se coupent selon une droite.
  • Aucune intersection : Les plans sont parallèles et distincts.
  • Une infinité de points (les deux plans sont identiques) : Les plans sont confondus.

Exemple : Soient les plans définis par les équations cartésiennes suivantes :

Plan 1 : x + y + z = 3
Plan 2 : x - y + 2z = 2

On peut exprimer x et y en fonction de z :
x = (5 - 3z)/2 et y = (z + 1)/2
Posons z = t. On obtient les équations paramétriques de la droite d'intersection :
x = (5 - 3t)/2
y = (t + 1)/2
z = t

Intersection de deux droites

Méthode : Pour trouver l'intersection de deux droites, on compare leurs équations paramétriques. Il faut s'assurer d'utiliser des paramètres différents (par exemple, 't' et 's') pour chaque droite. On obtient alors un système d'équations que l'on résout.

Cas possibles :

  • Un point : Les droites sont sécantes. Le système d'équations a une solution unique.
  • Aucun point : Les droites sont parallèles et distinctes, ou non coplanaires (elles ne se situent pas dans le même plan). Le système d'équations n'a pas de solution.
  • Une infinité de points (les deux droites sont identiques) : Les droites sont confondues. Le système d'équations a une infinité de solutions.

Important: Pour déterminer si deux droites sont coplanaires, on peut vérifier si le vecteur reliant un point de la première droite à un point de la seconde droite est coplanaire avec les vecteurs directeurs des deux droites. On peut vérifier cela en calculant un produit mixte.

Ce qu'il faut retenir

  • L'intersection d'une droite et d'un plan peut être un point, l'ensemble vide (droite parallèle au plan), ou la droite elle-même (droite incluse dans le plan).
  • L'intersection de deux plans est généralement une droite.
  • Pour trouver l'intersection d'une droite et d'un plan, substituez les équations paramétriques de la droite dans l'équation du plan.
  • Pour trouver l'intersection de deux plans, résolvez le système d'équations formé par leurs équations cartésiennes.

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FAQ

  • Comment savoir si une droite est parallèle à un plan ?

    Une droite est parallèle à un plan si son vecteur directeur est orthogonal au vecteur normal du plan. Cela signifie que le produit scalaire entre le vecteur directeur de la droite et le vecteur normal du plan est égal à zéro.
  • Comment déterminer la distance d'un point à un plan ?

    Soit un point P(x0, y0, z0) et un plan d'équation ax + by + cz + d = 0. La distance du point P au plan est donnée par la formule :

    Distance = |ax0 + by0 + cz0 + d| / √(a2 + b2 + c2)
  • Comment savoir si deux droites sont sécantes, parallèles ou non coplanaires ?

    Comparer les vecteurs directeurs : S'ils sont colinéaires, les droites sont parallèles ou confondues. Sinon, elles sont soit sécantes, soit non coplanaires. Pour déterminer si elles sont sécantes, résoudre le système d'équations paramétriques des deux droites. S'il existe une solution unique, elles sont sécantes. Sinon, elles sont non coplanaires.