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Exercices corrigés sur les lois de probabilité discrètes

Exercices et problèmes corrigés pour s'entraîner à appliquer les concepts de lois de probabilité discrètes. Niveau lycée.

Exercice 1 : Nombre de garçons dans une famille

Une famille a trois enfants. On suppose que la probabilité d'avoir un garçon est de 0.5 et que les sexes des enfants sont indépendants. Soit X la variable aléatoire représentant le nombre de garçons dans la famille. Déterminer la loi de probabilité de X, son espérance et sa variance. Indication: Enumérer tous les cas possibles (GGG, GGF, GFG, FGG, GFF, FGF, FFG, FFF).

Correction Exercice 1

Les valeurs possibles de X sont 0, 1, 2 et 3.

  • P(X = 0) = P(FFF) = 0.5 * 0.5 * 0.5 = 0.125
  • P(X = 1) = P(GFF) + P(FGF) + P(FFG) = 3 * 0.125 = 0.375
  • P(X = 2) = P(GGF) + P(GFG) + P(FGG) = 3 * 0.125 = 0.375
  • P(X = 3) = P(GGG) = 0.5 * 0.5 * 0.5 = 0.125
L'espérance est : E(X) = (0 * 0.125) + (1 * 0.375) + (2 * 0.375) + (3 * 0.125) = 1.5. La variance est : Var(X) = ((0 - 1.5)2 * 0.125) + ((1 - 1.5)2 * 0.375) + ((2 - 1.5)2 * 0.375) + ((3 - 1.5)2 * 0.125) = 0.75.

Exercice 2 : Lancer de deux dés

On lance deux dés équilibrés à six faces. Soit X la variable aléatoire représentant la somme des résultats obtenus. Déterminer la loi de probabilité de X.

Correction Exercice 2

Les valeurs possibles de X sont 2, 3, ..., 12. Il faut calculer la probabilité pour chaque valeur. Par exemple :

  • P(X = 2) = P((1, 1)) = 1/36
  • P(X = 3) = P((1, 2)) + P((2, 1)) = 2/36
  • P(X = 4) = P((1, 3)) + P((2, 2)) + P((3, 1)) = 3/36
Et ainsi de suite jusqu'à P(X = 12) = P((6, 6)) = 1/36. On peut résumer les résultats dans un tableau.

Exercice 3 : Jeu de hasard

Un joueur lance une pièce de monnaie. S'il obtient pile, il gagne 5 euros. S'il obtient face, il perd 2 euros. Soit X la variable aléatoire représentant le gain (ou la perte) du joueur. Déterminer la loi de probabilité de X, son espérance et son écart-type. Est-ce un jeu équitable ?

Correction Exercice 3

Les valeurs possibles de X sont 5 et -2. Si la pièce est équilibrée, P(X = 5) = 0.5 et P(X = -2) = 0.5. L'espérance est : E(X) = (5 * 0.5) + (-2 * 0.5) = 1.5. L'écart-type est : σ(X) = √((5 - 1.5)2 * 0.5 + (-2 - 1.5)2 * 0.5) = 3.5. Comme l'espérance est positive, le jeu n'est pas équitable. Le joueur a une espérance de gain de 1.5 euros par partie.

Exercice 4 : Contrôle qualité

Une entreprise fabrique des ampoules. La probabilité qu'une ampoule soit défectueuse est de 0.05. On prélève un échantillon de 10 ampoules. Quelle est la probabilité qu'il y ait exactement 2 ampoules défectueuses dans l'échantillon? On utilisera la loi binomiale.

Correction Exercice 4

On modélise cette situation par une loi binomiale de paramètres n = 10 (nombre d'ampoules) et p = 0.05 (probabilité qu'une ampoule soit défectueuse). On cherche P(X = 2), où X est le nombre d'ampoules défectueuses. On a: P(X = 2) = C(10, 2) * (0.05)2 * (0.95)8 = (10! / (2! * 8!)) * (0.0025) * (0.6634) ≈ 0.0746. Donc la probabilité d'avoir exactement 2 ampoules défectueuses est d'environ 7.46%.

Ce qu'il faut retenir

  • Les exercices permettent de mettre en pratique les concepts théoriques.
  • Il est important de bien identifier la variable aléatoire et ses valeurs possibles.
  • Il faut choisir la loi de probabilité appropriée en fonction du problème.
  • Il est crucial de savoir calculer l'espérance, la variance et l'écart-type pour interpréter les résultats.

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FAQ

  • Où puis-je trouver d'autres exercices corrigés sur les lois de probabilité discrètes ?

    Vous pouvez consulter des manuels scolaires, des sites web d'exercices de mathématiques, ou demander à votre professeur.
  • Comment savoir si j'ai bien compris les lois de probabilité discrètes ?

    Si vous êtes capable de résoudre des exercices variés sans difficulté et que vous comprenez l'interprétation des résultats, alors vous avez probablement bien compris les concepts.