Mathématiques > Probabilités et Statistiques > Probabilités > Espérance, variance et écart-type (discrètes)

Exercices d'Application : Espérance, Variance et Écart-type

Exercices corrigés pour s'entraîner au calcul de l'espérance, de la variance et de l'écart-type d'une variable aléatoire discrète. Parfait pour la préparation aux examens.

Exercice 1 : Lancer de deux dés

On lance deux dés équilibrés. Soit X la variable aléatoire qui représente la somme des deux nombres obtenus.

1. Déterminer la loi de probabilité de X.
2. Calculer l'espérance mathématique de X.
3. Calculer la variance de X.
4. Calculer l'écart-type de X.

Correction:

1. La loi de probabilité de X est donnée par :
X = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
P(X=2) = 1/36, P(X=3) = 2/36, P(X=4) = 3/36, P(X=5) = 4/36, P(X=6) = 5/36, P(X=7) = 6/36, P(X=8) = 5/36, P(X=9) = 4/36, P(X=10) = 3/36, P(X=11) = 2/36, P(X=12) = 1/36

2. E(X) = Σ xipi = (2 * 1/36) + (3 * 2/36) + (4 * 3/36) + (5 * 4/36) + (6 * 5/36) + (7 * 6/36) + (8 * 5/36) + (9 * 4/36) + (10 * 3/36) + (11 * 2/36) + (12 * 1/36) = 252/36 = 7

3. V(X) = E(X2) - [E(X)]2 = (4 * 1/36) + (9 * 2/36) + (16 * 3/36) + (25 * 4/36) + (36 * 5/36) + (49 * 6/36) + (64 * 5/36) + (81 * 4/36) + (100 * 3/36) + (121 * 2/36) + (144 * 1/36) - 72 = 1974/36 - 49 = 5.83

4. σ(X) = √V(X) = √5.83 ≈ 2.42

Exercice 2 : Tirage de boules dans une urne

Une urne contient 3 boules rouges et 2 boules noires. On tire au hasard et sans remise deux boules de l'urne. Soit X la variable aléatoire représentant le nombre de boules rouges tirées.

1. Déterminer la loi de probabilité de X.
2. Calculer l'espérance mathématique de X.
3. Calculer la variance de X.
4. Calculer l'écart-type de X.

Correction:

1. La loi de probabilité de X est donnée par:
X = {0, 1, 2}
P(X=0) = (2/5)*(1/4) = 2/20 = 1/10
P(X=1) = (3/5)*(2/4) + (2/5)*(3/4) = 12/20 = 3/5
P(X=2) = (3/5)*(2/4) = 6/20 = 3/10

2. E(X) = Σ xipi = (0 * 1/10) + (1 * 3/5) + (2 * 3/10) = 0 + 3/5 + 6/10 = 12/10 = 6/5 = 1.2

3. V(X) = E(X2) - [E(X)]2 = (0 * 1/10) + (1 * 3/5) + (4 * 3/10) - (1.2)2 = 0 + 3/5 + 12/10 - 1.44 = 1.8 - 1.44 = 0.36

4. σ(X) = √V(X) = √0.36 = 0.6

Exercice 3 : Jeu de pile ou face

Un joueur lance une pièce truquée. La probabilité d'obtenir pile est de 0.6. S'il obtient pile, il gagne 2€. S'il obtient face, il perd 3€. Soit X la variable aléatoire représentant le gain (ou la perte) du joueur.

1. Déterminer la loi de probabilité de X.
2. Calculer l'espérance mathématique de X.
3. Calculer la variance de X.
4. Calculer l'écart-type de X.

Correction:

1. La loi de probabilité de X est donnée par:
X = {-3, 2}
P(X=-3) = 0.4 (probabilité d'obtenir face)
P(X=2) = 0.6 (probabilité d'obtenir pile)

2. E(X) = Σ xipi = (-3 * 0.4) + (2 * 0.6) = -1.2 + 1.2 = 0

3. V(X) = E(X2) - [E(X)]2 = (9 * 0.4) + (4 * 0.6) - (0)2 = 3.6 + 2.4 = 6

4. σ(X) = √V(X) = √6 ≈ 2.45

Ce qu'il faut retenir

  • Pour résoudre les exercices, il est essentiel de bien identifier la variable aléatoire et sa loi de probabilité.
  • Utilisez les formules de l'espérance, de la variance et de l'écart-type.
  • Vérifiez toujours que la somme des probabilités est égale à 1.
  • Interprétez les résultats dans le contexte du problème.

← Exercices corrigés sur les lois de probabilité discrètes Indépendance d'événements : Cours complet et exemples →

FAQ

  • Comment choisir la bonne formule pour calculer la variance ?

    La formule V(X) = E(X2) - [E(X)]2 est souvent plus pratique à utiliser, surtout si vous avez déjà calculé l'espérance. Sinon, la formule V(X) = Σ (xi - E(X))2 * pi peut être utilisée directement.
  • Que faire si la loi de probabilité n'est pas donnée explicitement ?

    Si la loi de probabilité n'est pas donnée, vous devez la déterminer à partir des informations fournies dans l'énoncé du problème. Cela peut nécessiter l'utilisation de techniques de dénombrement ou d'autres concepts de probabilités.