Mathématiques > Analyse > Fonctions Exponentielle et Logarithme > Dérivées et primitives des fonctions exponentielle et logarithme

Dérivées et Primitives des Fonctions Exponentielle et Logarithme : Guide Complet

Ce guide complet vous expliquera en détail les dérivées et primitives des fonctions exponentielle et logarithme, avec des exemples concrets et des exercices pour une compréhension approfondie. Adapté aux élèves de lycée.

Introduction aux Fonctions Exponentielle et Logarithme

Les fonctions exponentielle et logarithme sont fondamentales en mathématiques, et comprendre leurs dérivées et primitives est crucial pour l'analyse. La fonction exponentielle, souvent notée ex (où e est le nombre d'Euler, environ 2.71828), décrit une croissance rapide. La fonction logarithme, notée ln(x) (logarithme népérien ou naturel), est la fonction inverse de l'exponentielle et est définie pour x > 0. Elles sont liées par la relation: y = ex ⇔ x = ln(y).

Dérivée de la Fonction Exponentielle

La dérivée de la fonction exponentielle ex est elle-même! C'est une propriété unique et très importante :
d/dx (ex) = ex
Plus généralement, si on a une fonction f(x) = eu(x), où u(x) est une fonction dérivable de x, alors la dérivée est donnée par la règle de la chaîne :
d/dx (eu(x)) = u'(x) * eu(x)
Par exemple, si f(x) = e2x, alors u(x) = 2x et u'(x) = 2. Donc, f'(x) = 2 * e2x.

Dérivée de la Fonction Logarithme Néperien

La dérivée de la fonction logarithme népérien ln(x) est 1/x :
d/dx (ln(x)) = 1/x
De même, si on a une fonction f(x) = ln(u(x)), où u(x) est une fonction dérivable et strictement positive, alors la dérivée est donnée par la règle de la chaîne :
d/dx (ln(u(x))) = u'(x) / u(x)
Par exemple, si f(x) = ln(x2 + 1), alors u(x) = x2 + 1 et u'(x) = 2x. Donc, f'(x) = 2x / (x2 + 1).

Primitive de la Fonction Exponentielle

La primitive de la fonction exponentielle ex est elle-même, plus une constante d'intégration C :
∫ ex dx = ex + C
Si on a une fonction f(x) = eax, où a est une constante non nulle, alors :
∫ eax dx = (1/a) * eax + C
Par exemple, ∫ e3x dx = (1/3) * e3x + C.

Primitive de la Fonction Logarithme Néperien

La primitive de la fonction logarithme népérien ln(x) est un peu plus complexe :
∫ ln(x) dx = x * ln(x) - x + C
Pour démontrer cela, on peut utiliser l'intégration par parties. Posons u = ln(x) et dv = dx. Alors du = (1/x) dx et v = x. L'intégration par parties donne :
∫ u dv = uv - ∫ v du
∫ ln(x) dx = x * ln(x) - ∫ x * (1/x) dx = x * ln(x) - ∫ 1 dx = x * ln(x) - x + C

Exemples et Exercices

Voici quelques exemples et exercices pour vous entraîner :
Exemple 1: Trouver la dérivée de f(x) = e-x2.
Solution: u(x) = -x2, donc u'(x) = -2x. f'(x) = -2x * e-x2.

Exemple 2: Trouver la dérivée de f(x) = ln(sin(x)).
Solution: u(x) = sin(x), donc u'(x) = cos(x). f'(x) = cos(x) / sin(x) = cotan(x).

Exercice 1: Trouver la primitive de ∫ xex2 dx.
Exercice 2: Trouver la primitive de ∫ ln(x)/x dx.

Ce qu'il faut retenir

  • La dérivée de ex est ex.
  • La dérivée de ln(x) est 1/x.
  • La primitive de ex est ex + C.
  • La primitive de ln(x) est x * ln(x) - x + C.
  • Utiliser la règle de la chaîne pour dériver des fonctions composées (e.g., eu(x), ln(u(x))).
  • L'intégration par parties peut être nécessaire pour trouver certaines primitives (e.g., ∫ ln(x) dx).

← Continuité d'une fonction sur un intervalle Dérivées et Primitives des Fonctions Exponentielles avec Base 'a' →

FAQ

  • Quelle est la différence entre la dérivée et la primitive?

    La dérivée mesure le taux de variation instantané d'une fonction, tandis que la primitive est une fonction dont la dérivée est la fonction de départ. En d'autres termes, la dérivation et l'intégration sont des opérations inverses.
  • Pourquoi la constante d'intégration C est-elle importante?

    La constante d'intégration C représente l'indétermination de la primitive. Puisque la dérivée d'une constante est zéro, il existe une infinité de primitives possibles pour une fonction donnée, différant uniquement par une constante.
  • Quand dois-je utiliser la règle de la chaîne?

    La règle de la chaîne est utilisée lorsque vous dérivez une fonction composée, c'est-à-dire une fonction à l'intérieur d'une autre fonction (par exemple, eu(x) ou ln(u(x))). Elle stipule que la dérivée de la fonction composée est le produit de la dérivée de la fonction extérieure évaluée à la fonction intérieure, multipliée par la dérivée de la fonction intérieure.