Primitives d'une fonction : Définition, calcul et exemples

Définition d'une primitive

Une primitive d'une fonction f définie sur un intervalle I est une fonction F dérivable sur I telle que, pour tout x appartenant à I, F'(x) = f(x). En d'autres termes, la dérivée de F est égale à f. Il est important de noter que si F est une primitive de f, alors F + C, où C est une constante réelle quelconque, est également une primitive de f. C'est pourquoi on parle de la primitive plutôt que une primitive. La constante C est appelée la constante d'intégration.

Exemples simples

• Si f(x) = x, alors F(x) = (x²)/2 + C est une primitive de f(x). En effet, F'(x) = x.
• Si f(x) = sin(x), alors F(x) = -cos(x) + C est une primitive de f(x). En effet, F'(x) = sin(x).
• Si f(x) = cos(x), alors F(x) = sin(x) + C est une primitive de f(x). En effet, F'(x) = cos(x).
• Si f(x) = e^x, alors F(x) = e^x + C est une primitive de f(x). En effet, F'(x) = e^x.

Primitives des fonctions usuelles

Il est important de connaître les primitives des fonctions usuelles:

• f(x) = a (constante) => F(x) = ax + C
• f(x) = xⁿ (n ≠ -1) => F(x) = (xⁿ⁺¹)/(n+1) + C
• f(x) = 1/x => F(x) = ln|x| + C
• f(x) = e^x => F(x) = e^x + C
• f(x) = sin(x) => F(x) = -cos(x) + C
• f(x) = cos(x) => F(x) = sin(x) + C

Linéarité de l'intégration

L'intégration est une opération linéaire, ce qui signifie que pour deux fonctions f et g et une constante k, on a:

• Primitive de (f(x) + g(x)) = Primitive de f(x) + Primitive de g(x)
• Primitive de (k * f(x)) = k * Primitive de f(x)

Méthodes de calcul des primitives

Plusieurs méthodes permettent de calculer les primitives de fonctions plus complexes:

• Intégration par parties: Cette méthode est basée sur la formule (u(x)v(x))' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x). Elle est particulièrement utile pour intégrer des produits de fonctions. La formule d'intégration par parties est: ∫u(x)v'(x) dx = u(x)v(x) - ∫u'(x)v(x) dx. Le choix de u(x) et v'(x) est crucial.
• Changement de variable: Cette méthode consiste à effectuer une substitution pour simplifier l'intégrale. Si ∫f(g(x))g'(x) dx, on pose u = g(x), donc du = g'(x) dx. L'intégrale devient alors ∫f(u) du.

Exemple d'intégration par parties

Calculons la primitive de x*cos(x). On pose u(x) = x et v'(x) = cos(x). Alors u'(x) = 1 et v(x) = sin(x). En appliquant la formule d'intégration par parties: ∫x*cos(x) dx = x*sin(x) - ∫1*sin(x) dx = x*sin(x) - (-cos(x)) + C = x*sin(x) + cos(x) + C.

Exemple de changement de variable

Calculons la primitive de 2x*e^x2. On pose u = x². Alors du = 2x dx. L'intégrale devient ∫e^u du = e^u + C = e^x2 + C.

Ce qu'il faut retenir

• Une primitive F d'une fonction f est telle que F'(x) = f(x).
• La primitive d'une fonction n'est pas unique, elle est définie à une constante près (F(x) + C).
• Connaître les primitives des fonctions usuelles est essentiel.
• Les méthodes d'intégration par parties et de changement de variable permettent de calculer les primitives de fonctions plus complexes.
• L'intégration est une opération linéaire.