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Exercices Corrigés : Calcul de Dérivées et Applications

Une série d'exercices corrigés pour s'entraîner au calcul de dérivées et à leurs applications (étude des variations, recherche d'extremums). Adapté aux élèves de lycée.

Exercice 1 : Calcul de Dérivées Simples

Énoncé : Calculer la dérivée des fonctions suivantes :

  1. f(x) = 5x4 - 3x2 + 2x - 1
  2. g(x) = 7x-2 + 4√x
Correction :
  1. f'(x) = 20x3 - 6x + 2
  2. g(x) = 7x-2 + 4x1/2 => g'(x) = -14x-3 + 2x-1/2 = -14/x3 + 2/√x

Exercice 2 : Dérivée d'un Produit

Énoncé : Calculer la dérivée de la fonction h(x) = (x2 + 1) * ex. Correction : On utilise la règle du produit : (u * v)' = u' * v + u * v'. Soit u(x) = x2 + 1 et v(x) = ex. Alors u'(x) = 2x et v'(x) = ex. Donc, h'(x) = 2x * ex + (x2 + 1) * ex = ex(x2 + 2x + 1) = ex(x + 1)2.

Exercice 3 : Dérivée d'un Quotient

Énoncé : Calculer la dérivée de la fonction k(x) = sin(x) / x. Correction : On utilise la règle du quotient : (u / v)' = (u' * v - u * v') / v2. Soit u(x) = sin(x) et v(x) = x. Alors u'(x) = cos(x) et v'(x) = 1. Donc, k'(x) = (cos(x) * x - sin(x) * 1) / x2 = (x * cos(x) - sin(x)) / x2.

Exercice 4 : Dérivée d'une Fonction Composée

Énoncé : Calculer la dérivée de la fonction l(x) = cos(3x + 2). Correction : On utilise la règle de la chaîne : (g(h(x)))' = g'(h(x)) * h'(x). Soit g(u) = cos(u) et h(x) = 3x + 2. Alors g'(u) = -sin(u) et h'(x) = 3. Donc, l'(x) = -sin(3x + 2) * 3 = -3sin(3x + 2).

Exercice 5 : Étude des Variations d'une Fonction

Énoncé : Étudier les variations de la fonction f(x) = x3 - 3x + 2. Correction :

  1. Calcul de la dérivée : f'(x) = 3x2 - 3.
  2. Recherche des points critiques : f'(x) = 0 => 3x2 - 3 = 0 => x2 = 1 => x = -1 ou x = 1.
  3. Tableau de signes de f'(x) :
    • x < -1 : f'(x) > 0 (f est croissante)
    • -1 < x < 1 : f'(x) < 0 (f est décroissante)
    • x > 1 : f'(x) > 0 (f est croissante)
  4. Conclusion : f a un maximum local en x = -1 et un minimum local en x = 1.

Ce qu'il faut retenir

  • La pratique est essentielle pour maîtriser le calcul des dérivées.
  • Bien identifier la structure de la fonction (produit, quotient, composée) est crucial.
  • Le tableau de signes de la dérivée permet d'étudier les variations de la fonction.
  • Les points critiques (f'(x) = 0) sont les candidats aux extremums locaux.

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FAQ

  • Comment vérifier si j'ai bien calculé une dérivée ?

    On peut utiliser des outils en ligne (calculatrices de dérivées) pour vérifier ses résultats. Il est aussi utile de revérifier chaque étape du calcul.
  • Quand est-ce qu'on utilise la règle de L'Hôpital ?

    La règle de L'Hôpital est utilisée pour lever les indéterminations de la forme 0/0 ou ∞/∞ lors du calcul de limites. Elle consiste à dériver le numérateur et le dénominateur séparément et à recalculer la limite.