Exercices Corrigés sur les Dérivées des Fonctions Usuelles

Exercice 1: Fonction Polynôme

Énoncé: Calculer la dérivée de f(x) = 4x³ - 2x² + 5x - 1.

Solution: f'(x) = 4 * 3x² - 2 * 2x + 5 = 12x² - 4x + 5.

Exercice 2: Fonction Rationnelle

Énoncé: Calculer la dérivée de f(x) = (2x + 1) / (x² - 3).

Solution: On applique la règle du quotient. u(x) = 2x + 1, v(x) = x² - 3, u'(x) = 2, v'(x) = 2x.
f'(x) = [2(x² - 3) - (2x + 1)(2x)] / (x² - 3)² = (2x² - 6 - 4x² - 2x) / (x² - 3)² = (-2x² - 2x - 6) / (x² - 3)².

Exercice 3: Fonction Trigonométrique

Énoncé: Calculer la dérivée de f(x) = sin(x)cos(x).

Solution: On utilise la règle du produit: (uv)' = u'v + uv'. Ici, u(x) = sin(x) et v(x) = cos(x).
u'(x) = cos(x) et v'(x) = -sin(x).
f'(x) = cos(x)cos(x) + sin(x)(-sin(x)) = cos²(x) - sin²(x) = cos(2x).

Exercice 4: Fonction Exponentielle

Énoncé: Calculer la dérivée de f(x) = e^-x2.

Solution: On utilise la règle de la chaîne. Soit u(x) = -x², alors f(x) = e^u(x).
f'(x) = e^u(x) * u'(x) = e^-x2 * (-2x) = -2xe^-x2.

Exercice 5: Fonction Logarithmique

Énoncé: Calculer la dérivée de f(x) = ln(x² + 1).

Solution: On utilise la règle de la chaîne. Soit u(x) = x² + 1, alors f(x) = ln(u(x)).
f'(x) = (1/u(x)) * u'(x) = (1/(x² + 1)) * (2x) = 2x / (x² + 1).

Ce qu'il faut retenir

• Appliquer correctement les règles de dérivation pour chaque type de fonction.
• Utiliser la règle du quotient pour les fonctions rationnelles.
• Utiliser la règle de la chaîne pour les fonctions composées.
• Simplifier autant que possible le résultat final.