Opérations sur les Fonctions : Somme, Produit et Composition

Introduction aux Opérations sur les Fonctions

Les fonctions, comme les nombres, peuvent être combinées pour former de nouvelles fonctions. Les opérations les plus courantes sont la somme, le produit et la composition. Comprendre ces opérations est essentiel pour manipuler et analyser les fonctions plus complexes.

• Somme de fonctions: Additionner deux fonctions.
• Produit de fonctions: Multiplier deux fonctions.
• Composition de fonctions: Appliquer une fonction au résultat d'une autre.

Somme de Fonctions

Soient f(x) et g(x) deux fonctions définies sur un même intervalle. La somme de ces deux fonctions, notée (f+g)(x), est définie par : (f+g)(x) = f(x) + g(x). En d'autres termes, pour chaque valeur de x, on additionne les valeurs correspondantes de f(x) et g(x). Exemple : Si f(x) = x² et g(x) = 2x + 1, alors (f+g)(x) = x² + 2x + 1.

Produit de Fonctions

Soient f(x) et g(x) deux fonctions définies sur un même intervalle. Le produit de ces deux fonctions, noté (f.g)(x), est défini par : (f.g)(x) = f(x) * g(x). Ici, pour chaque valeur de x, on multiplie les valeurs correspondantes de f(x) et g(x). Exemple : Si f(x) = x et g(x) = sin(x), alors (f.g)(x) = x * sin(x).

Composition de Fonctions

La composition de fonctions est un peu plus complexe. Soient f(x) et g(x) deux fonctions. La composition de f avec g, notée f o g (se lit 'f rond g'), est définie par : (f o g)(x) = f(g(x)). Cela signifie que l'on applique d'abord la fonction g à x, puis on applique la fonction f au résultat. Il est important de noter que la composition n'est généralement pas commutative, c'est-à-dire que f o g n'est pas toujours égal à g o f. Exemple : Si f(x) = √x et g(x) = x + 2, alors (f o g)(x) = √(x + 2). Notez que (g o f)(x) = √x + 2, ce qui est différent.

Domaine de Définition

Il est crucial de déterminer le domaine de définition de la nouvelle fonction résultant d'une opération.

• Somme et Produit : Le domaine de définition de (f+g)(x) et (f.g)(x) est l'intersection des domaines de définition de f(x) et g(x).
• Composition : Le domaine de définition de (f o g)(x) est l'ensemble des x tels que x appartient au domaine de g et g(x) appartient au domaine de f. Il faut donc s'assurer que g(x) est bien dans le domaine de définition de f.

Exemples Avancés

Considérons f(x) = 1/x et g(x) = √(x-1).

• (f+g)(x) = 1/x + √(x-1). Le domaine de définition est ]1; +∞[.
• (f.g)(x) = √(x-1)/x. Le domaine de définition est ]1; +∞[.
• (f o g)(x) = 1/√(x-1). Le domaine de définition est ]1; +∞[.
• (g o f)(x) = √(1/x - 1) = √((1-x)/x). Pour que (g o f)(x) existe, il faut que (1-x)/x ≥ 0, ce qui implique x ∈ ]0; 1].

Représentation Graphique

La représentation graphique des opérations sur les fonctions permet de visualiser les transformations. Pour la somme, on additionne graphiquement les ordonnées des deux fonctions pour chaque abscisse. Pour le produit, on multiplie les ordonnées. La composition est plus délicate à visualiser directement sur le graphique des fonctions de base.

Ce qu'il faut retenir

• Somme de fonctions : (f+g)(x) = f(x) + g(x). Le domaine de définition est l'intersection des domaines de f et g.
• Produit de fonctions : (f.g)(x) = f(x) * g(x). Le domaine de définition est l'intersection des domaines de f et g.
• Composition de fonctions : (f o g)(x) = f(g(x)). Le domaine de définition est l'ensemble des x tels que x appartient au domaine de g et g(x) appartient au domaine de f.
• La composition n'est généralement pas commutative (f o g ≠ g o f).
• Il est essentiel de déterminer le domaine de définition de la nouvelle fonction.