Raisonnement par contre-exemple

Introduction au raisonnement par contre-exemple

Le raisonnement par contre-exemple est une méthode logique essentielle en mathématiques. Il sert à démontrer qu'une affirmation est fausse. Plutôt que de prouver qu'une affirmation est toujours vraie, on cherche un cas particulier, un 'contre-exemple', où elle est fausse. Si l'on trouve un seul contre-exemple, l'affirmation est alors réfutée. C'est un outil puissant pour invalider des propositions générales.

Définition formelle

Si une affirmation mathématique prétend qu'une propriété est vraie pour tous les éléments d'un ensemble donné, alors un contre-exemple est un élément de cet ensemble pour lequel la propriété est fausse. Formellement, si on a une proposition P(x) (par exemple, 'x est pair') définie pour tout x dans un ensemble E, un contre-exemple à P(x) est un élément 'a' appartenant à E tel que P(a) est fausse.

Méthode pour trouver un contre-exemple

La recherche d'un contre-exemple demande souvent une approche méthodique :

1. Comprendre l'affirmation : Bien cerner ce que l'affirmation prétend. Identifier les conditions et la conclusion.
2. Analyser les hypothèses : Examiner les conditions qui doivent être remplies pour que l'affirmation soit considérée.
3. Chercher des cas particuliers : Tester l'affirmation avec des exemples simples ou des valeurs spécifiques. Se concentrer sur les cas limites ou les situations qui semblent 'suspectes'.
4. Vérifier si l'affirmation est fausse : Si un cas particulier contredit la conclusion de l'affirmation, alors ce cas est un contre-exemple.

Exemple 1 : Affirmation sur les nombres premiers

Affirmation: 'Tous les nombres premiers sont impairs'. Pour trouver un contre-exemple, on teste les premiers nombres premiers : 2, 3, 5, 7, 11... On remarque que 2 est un nombre premier et est pair. Conclusion: 2 est un contre-exemple. L'affirmation 'Tous les nombres premiers sont impairs' est fausse.

Exemple 2 : Affirmation sur les carrés de nombres réels

Affirmation: 'Si le carré d'un nombre réel est positif, alors le nombre est positif'. On cherche un nombre dont le carré est positif mais qui n'est pas lui-même positif. On peut essayer avec des nombres négatifs. Considérons le nombre -2. Son carré est (-2)² = 4, qui est positif. Cependant, -2 est négatif. Conclusion: -2 est un contre-exemple. L'affirmation 'Si le carré d'un nombre réel est positif, alors le nombre est positif' est fausse.

Exemple 3 : Affirmation sur les suites

Affirmation: 'Si une suite (u_n) est croissante, alors elle converge vers l'infini'. Un contre-exemple peut être une suite croissante et majorée. Prenons par exemple la suite définie par u_n = 1 - (1/n), avec n >= 1. Cette suite est croissante (car u_n+1 - u_n = 1/(n(n+1)) > 0) et elle est majorée par 1 (car u_n < 1 pour tout n). Elle converge vers 1, et non vers l'infini. Conclusion: La suite u_n = 1 - (1/n) est un contre-exemple. L'affirmation 'Si une suite (u_n) est croissante, alors elle converge vers l'infini' est fausse.

Importance du raisonnement par contre-exemple

Le raisonnement par contre-exemple est crucial en mathématiques car il permet d'éviter de se baser sur des affirmations incorrectes. Il nous force à être rigoureux et à remettre en question nos intuitions. Il est utilisé dans de nombreux domaines des mathématiques, de l'algèbre à la géométrie en passant par l'analyse.

Ce qu'il faut retenir

• Le raisonnement par contre-exemple sert à réfuter une affirmation.
• Un contre-exemple est un cas particulier qui rend l'affirmation fausse.
• Il suffit d'un seul contre-exemple pour invalider une affirmation générale.
• La méthode consiste à comprendre l'affirmation, analyser les hypothèses, chercher des cas particuliers et vérifier si l'affirmation est fausse pour ces cas.
• Le raisonnement par contre-exemple est essentiel pour la rigueur mathématique.