Applications des fonctions quadratiques : Résolution de problèmes

Introduction aux applications

Les fonctions quadratiques ne sont pas que des objets mathématiques abstraits. Elles apparaissent dans de nombreux problèmes concrets et peuvent être utilisées pour modéliser des phénomènes physiques et optimiser des situations. Cette section explore quelques applications courantes.

Trajectoire d'un projectile

L'une des applications les plus classiques est la modélisation de la trajectoire d'un projectile (une balle lancée, une flèche tirée, etc.) En négligeant la résistance de l'air, la hauteur h(t) d'un projectile en fonction du temps t peut être approximée par une fonction quadratique de la forme : h(t) = -0.5gt² + v₀t + h₀, où :

• g est l'accélération due à la gravité (environ 9.8 m/s²).
• v₀ est la vitesse initiale verticale.
• h₀ est la hauteur initiale.

Exemple : Une balle est lancée verticalement vers le haut depuis une hauteur de 1 mètre avec une vitesse initiale de 15 m/s. Quelle est la hauteur maximale atteinte par la balle et à quel moment est-elle atteinte ?

• h(t) = -4.9t² + 15t + 1
• Le sommet de la parabole donne la hauteur maximale et le temps correspondant. t = -b / (2a) = -15 / (2 * -4.9) ≈ 1.53 s
• h(1.53) = -4.9(1.53)² + 15(1.53) + 1 ≈ 12.49 m

Donc, la hauteur maximale atteinte est d'environ 12.49 mètres, atteinte après environ 1.53 secondes.

Optimisation de surfaces

Les fonctions quadratiques peuvent également être utilisées pour résoudre des problèmes d'optimisation, tels que maximiser l'aire d'une surface rectangulaire avec un périmètre donné. Exemple : Un agriculteur souhaite clôturer un champ rectangulaire en utilisant 100 mètres de clôture. Quelles dimensions doit-il donner au champ pour maximiser son aire ?

• Soient l et w la longueur et la largeur du champ. Le périmètre est 2l + 2w = 100, donc l + w = 50, et l = 50 - w.
• L'aire du champ est A = l * w = (50 - w) * w = 50w - w².
• A(w) = -w² + 50w est une fonction quadratique. Pour maximiser l'aire, on cherche le sommet de la parabole.
• w = -b / (2a) = -50 / (2 * -1) = 25
• l = 50 - w = 50 - 25 = 25

Donc, le champ doit être un carré de 25 mètres de côté pour maximiser son aire, qui sera de 625 m².

Autres applications

Les fonctions quadratiques apparaissent dans de nombreux autres contextes :

• Économie : Modélisation des coûts de production, des courbes d'offre et de demande.
• Physique : Description du mouvement uniformément accéléré.
• Ingénierie : Conception de miroirs paraboliques pour concentrer les rayons lumineux.

Ces exemples montrent que les fonctions quadratiques sont des outils puissants pour comprendre et modéliser des phénomènes variés.

Ce qu'il faut retenir

• Les fonctions quadratiques peuvent modéliser des phénomènes réels comme la trajectoire d'un projectile.
• Le sommet de la parabole représente souvent une valeur maximale ou minimale dans le contexte du problème.
• Les problèmes d'optimisation (maximiser une aire, minimiser un coût) peuvent souvent être résolus en utilisant des fonctions quadratiques.