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La Fonction Logarithme Népérien : Un Guide Complet

Explorez en profondeur la fonction logarithme népérien, de sa définition à ses propriétés essentielles et à sa représentation graphique. Ce guide complet est conçu pour les lycéens et offre des explications claires et des exemples concrets pour une compréhension optimale.

Définition du Logarithme Népérien

La fonction logarithme népérien, notée ln(x), est la fonction réciproque de la fonction exponentielle ex. Cela signifie que pour tout x > 0, ln(x) = y si et seulement si ey = x. En d'autres termes, le logarithme népérien d'un nombre x est la puissance à laquelle il faut élever le nombre d'Euler e (environ 2.718) pour obtenir x.

Le nombre d'Euler e est un nombre irrationnel très important en mathématiques. On peut le définir comme la limite de (1 + 1/n)n lorsque n tend vers l'infini. On a donc ln(e) = 1 car e1 = e. De même, ln(1) = 0 car e0 = 1.

Le Nombre d'Euler (e)

Le nombre d'Euler, souvent représenté par la lettre 'e', est une constante mathématique fondamentale qui vaut approximativement 2.71828. Il joue un rôle crucial dans de nombreux domaines des mathématiques, y compris le calcul différentiel et intégral, les probabilités et les statistiques. Il est défini comme la limite de (1 + 1/n)^n lorsque n tend vers l'infini.

Propriétés Fondamentales du Logarithme Népérien

La fonction ln(x) possède des propriétés essentielles qui facilitent les calculs et la manipulation des expressions mathématiques. Voici les plus importantes :

  1. Logarithme d'un produit : ln(a * b) = ln(a) + ln(b) pour tout a > 0 et b > 0.
  2. Logarithme d'un quotient : ln(a / b) = ln(a) - ln(b) pour tout a > 0 et b > 0.
  3. Logarithme d'une puissance : ln(an) = n * ln(a) pour tout a > 0 et n réel.
  4. Logarithme de l'inverse : ln(1/a) = -ln(a) pour tout a > 0.

Ces propriétés permettent de simplifier des expressions complexes et de résoudre des équations impliquant des logarithmes.

La Courbe Représentative de la Fonction ln(x)

La représentation graphique de la fonction ln(x) est une courbe importante à connaître. Voici ses principales caractéristiques :

  1. Domaine de définition : La fonction est définie pour tout x > 0. La courbe n'existe pas pour les valeurs négatives de x.
  2. Image : L'image de la fonction est l'ensemble des réels, donc ln(x) peut prendre n'importe quelle valeur réelle.
  3. Point d'intersection avec l'axe des abscisses : La courbe coupe l'axe des abscisses en x = 1, car ln(1) = 0.
  4. Asymptote verticale : La courbe admet une asymptote verticale en x = 0. Lorsque x tend vers 0 par valeurs positives, ln(x) tend vers -∞.
  5. Croissance : La fonction ln(x) est strictement croissante sur son domaine de définition. Plus x augmente, plus ln(x) augmente.
  6. Concavité : La fonction ln(x) est concave sur son domaine de définition. Cela signifie que la courbe est toujours située en dessous de ses tangentes.

Visualiser la courbe permet de mieux comprendre le comportement de la fonction et ses propriétés.

Exemples d'application

Exemple 1 : Simplification d'une expression logarithmique
Simplifiez l'expression suivante : ln(4) + ln(2) - ln(8).
ln(4) + ln(2) - ln(8) = ln(4 * 2) - ln(8) = ln(8) - ln(8) = ln(8/8) = ln(1) = 0

Exemple 2 : Résolution d'une équation
Résolvez l'équation ln(x) = 2.
Puisque la fonction ln(x) est la réciproque de ex, on a : x = e2. La solution est donc x = e2 ≈ 7.39.

Dérivée et Intégrale du Logarithme Népérien

Dérivée : La dérivée de la fonction ln(x) est 1/x, pour tout x > 0. Cela signifie que la pente de la tangente à la courbe de ln(x) en un point x est égale à 1/x.

Intégrale : Une primitive de la fonction ln(x) est x*ln(x) - x. Par conséquent, l'intégrale de ln(x) entre a et b (avec a > 0 et b > 0) est donnée par : ∫ab ln(x) dx = [x*ln(x) - x]ab = (b*ln(b) - b) - (a*ln(a) - a).

Ce qu'il faut retenir

  • La fonction logarithme népérien, notée ln(x), est la fonction réciproque de la fonction exponentielle ex.
  • ln(x) = y si et seulement si ey = x.
  • ln(1) = 0 et ln(e) = 1.
  • Propriétés importantes :
    • ln(a * b) = ln(a) + ln(b)
    • ln(a / b) = ln(a) - ln(b)
    • ln(an) = n * ln(a)
  • La fonction est définie pour x > 0 et est strictement croissante.
  • La dérivée de ln(x) est 1/x.

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FAQ

  • Quel est le domaine de définition de la fonction logarithme népérien ?

    La fonction logarithme népérien est définie pour toutes les valeurs de x strictement positives, c'est-à-dire x > 0.
  • Pourquoi la fonction logarithme népérien est-elle importante ?

    Elle est importante car elle est la réciproque de la fonction exponentielle, ce qui la rend utile pour résoudre des équations où l'inconnue est en exposant. De plus, elle possède des propriétés qui simplifient les calculs et les manipulations algébriques.
  • Comment calculer ln(0) ?

    ln(0) n'est pas défini. La fonction ln(x) tend vers -∞ lorsque x tend vers 0 par valeurs positives.