Probabilités conditionnelles : Comprendre et appliquer

Introduction aux probabilités conditionnelles

Les probabilités conditionnelles permettent de calculer la probabilité d'un événement A sachant qu'un autre événement B s'est déjà produit. Cette notion est cruciale dans de nombreux domaines, des statistiques à la prise de décision. On note la probabilité conditionnelle de A sachant B comme P(A|B). La barre verticale '|' se lit 'sachant que'. Exemple simple : Imaginez un sac contenant des billes rouges et bleues. Si on tire une bille au hasard, la probabilité de tirer une bille rouge est une probabilité simple. Maintenant, imaginez qu'on vous dit qu'une bille a déjà été tirée du sac et qu'elle est bleue. La probabilité de tirer une bille rouge *après* cette information est une probabilité conditionnelle.

La formule des probabilités conditionnelles

La formule fondamentale des probabilités conditionnelles est : P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B) Où :

• P(A|B) est la probabilité que l'événement A se produise sachant que l'événement B s'est produit.
• P(A ∩ B) est la probabilité que les événements A et B se produisent simultanément (l'intersection de A et B).
• P(B) est la probabilité que l'événement B se produise. Il est crucial que P(B) soit différent de zéro, sinon la probabilité conditionnelle n'est pas définie.

Exemple concret : Lancer de dé

Considérons un dé à six faces. Soient les événements : * A : Obtenir un nombre pair. * B : Obtenir un nombre supérieur à 3. Nous voulons calculer P(A|B), la probabilité d'obtenir un nombre pair sachant qu'on a obtenu un nombre supérieur à 3. 1. Identifier les issues : * A = {2, 4, 6} * B = {4, 5, 6} * A ∩ B = {4, 6} 2. Calculer les probabilités : * P(A) = 3/6 = 1/2 * P(B) = 3/6 = 1/2 * P(A ∩ B) = 2/6 = 1/3 3. Appliquer la formule : * P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B) = (1/3) / (1/2) = 2/3 Donc, la probabilité d'obtenir un nombre pair sachant qu'on a obtenu un nombre supérieur à 3 est de 2/3.

Indépendance d'événements

Deux événements A et B sont dits indépendants si la réalisation de l'un n'affecte pas la probabilité de réalisation de l'autre. Mathématiquement, cela se traduit par : P(A|B) = P(A) et P(B|A) = P(B) Si A et B sont indépendants, alors P(A ∩ B) = P(A) * P(B) Exemple : Lancer deux dés. L'événement A (obtenir un 6 sur le premier dé) et l'événement B (obtenir un 3 sur le deuxième dé) sont indépendants. Le résultat du premier dé n'influence pas le résultat du deuxième dé.

Arbres de probabilités et probabilités conditionnelles

Les arbres de probabilités sont un outil puissant pour visualiser et résoudre les problèmes de probabilités conditionnelles. Comment construire un arbre de probabilités : 1. Représenter les événements : Chaque branche de l'arbre représente un événement possible. 2. Indiquer les probabilités : Sur chaque branche, on indique la probabilité de l'événement correspondant. Il faut distinguer les probabilités simples et les probabilités conditionnelles. 3. Calculer les probabilités des chemins : Pour calculer la probabilité d'un chemin (une suite d'événements), on multiplie les probabilités des branches composant ce chemin. Exemple : Une usine fabrique des pièces. 95% des pièces sont bonnes, et 5% sont défectueuses. Un contrôle qualité est effectué : 98% des bonnes pièces sont acceptées, et 90% des pièces défectueuses sont rejetées. On peut représenter cette situation par un arbre de probabilités pour calculer, par exemple, la probabilité qu'une pièce acceptée soit bonne (probabilité conditionnelle).

Ce qu'il faut retenir

• Définition : La probabilité conditionnelle P(A|B) est la probabilité que l'événement A se produise sachant que l'événement B s'est déjà produit.
• Formule : P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B), où P(B) ≠ 0.
• Indépendance : Deux événements A et B sont indépendants si P(A|B) = P(A) et P(A ∩ B) = P(A) * P(B).
• Arbres de probabilités : Un outil visuel pour résoudre les problèmes de probabilités conditionnelles, en représentant les événements et leurs probabilités.
• Attention : Bien distinguer probabilité conditionnelle et probabilité simple. L'information que l'événement B s'est produit modifie la probabilité de A.