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Propriétés fondamentales des congruences

Explorez les propriétés essentielles des congruences, un outil puissant en arithmétique. Comprenez comment additionner, soustraire, multiplier et élever à une puissance des congruences, et découvrez leurs applications dans la résolution de problèmes.

Définition de la congruence

La congruence est une relation d'équivalence entre deux entiers relatifs. On dit que a est congru à b modulo n, noté a ≡ b [n], si a - b est divisible par n, où n est un entier strictement positif. En d'autres termes, a et b ont le même reste dans la division euclidienne par n. Cette notion est fondamentale pour simplifier les calculs et résoudre des problèmes d'arithmétique.

Addition et soustraction de congruences

Si a ≡ b [n] et c ≡ d [n], alors on peut additionner ou soustraire ces congruences :

  • Addition: a + c ≡ b + d [n]
  • Soustraction: a - c ≡ b - d [n]
Exemple: Si 10 ≡ 1 [3] et 7 ≡ 1 [3], alors 10 + 7 ≡ 1 + 1 [3], donc 17 ≡ 2 [3]. Démonstration: Si a ≡ b [n] et c ≡ d [n], alors il existe des entiers k et l tels que a = b + kn et c = d + ln. En additionnant ces équations, on obtient a + c = b + d + (k + l)n, donc (a + c) - (b + d) = (k + l)n, ce qui montre que a + c ≡ b + d [n]. La soustraction se démontre de manière analogue.

Multiplication de congruences

Si a ≡ b [n] et c ≡ d [n], alors on peut multiplier ces congruences : ac ≡ bd [n]. Exemple: Si 5 ≡ 2 [3] et 4 ≡ 1 [3], alors 5 * 4 ≡ 2 * 1 [3], donc 20 ≡ 2 [3], qui est équivalent à 2 ≡ 2 [3]. Démonstration: Si a ≡ b [n] et c ≡ d [n], alors il existe des entiers k et l tels que a = b + kn et c = d + ln. En multipliant ces équations, on obtient ac = (b + kn)(d + ln) = bd + bln + kdn + kln² = bd + n(bl + kd + kln), donc ac - bd = n(bl + kd + kln), ce qui montre que ac ≡ bd [n].

Élévation à une puissance

Si a ≡ b [n], alors pour tout entier positif k, on a ak ≡ bk [n]. Exemple: Si 2 ≡ 5 [3], alors 23 ≡ 53 [3], donc 8 ≡ 125 [3], qui est équivalent à 2 ≡ 2 [3]. Cette propriété découle directement de la multiplication des congruences, puisque ak = a * a * ... * a (k fois).

Simplification des congruences

Si ac ≡ bc [n] et si c et n sont premiers entre eux (c'est-à-dire, PGCD(c, n) = 1), alors on peut simplifier la congruence en divisant par c : a ≡ b [n]. Il est crucial que c et n soient premiers entre eux pour pouvoir simplifier. Contre-exemple: 6 ≡ 15 [3]. Si on divise par 3 (qui n'est pas premier avec 3), on obtient 2 ≡ 5 [3], qui est vrai. Mais si on avait divisé *par* 3 mais qu'il n'y avait *pas* de congruence au départ, cela aurait mené à une conclusion fausse. Donc, il est crucial de respecter cette condition PGCD(c, n) = 1. Cas général : Si ac ≡ bc [n], alors a ≡ b [n/PGCD(c,n)].

Ce qu'il faut retenir

  • Définition: a ≡ b [n] signifie que a - b est divisible par n.
  • Addition/Soustraction: Si a ≡ b [n] et c ≡ d [n], alors a + c ≡ b + d [n] et a - c ≡ b - d [n].
  • Multiplication: Si a ≡ b [n] et c ≡ d [n], alors ac ≡ bd [n].
  • Puissance: Si a ≡ b [n], alors ak ≡ bk [n] pour tout entier positif k.
  • Simplification: Si ac ≡ bc [n] et PGCD(c, n) = 1, alors a ≡ b [n]. Généralisation : Si ac ≡ bc [n] alors a ≡ b [n/PGCD(c, n)].

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FAQ

  • Comment utiliser les congruences pour trouver le reste d'une division ?

    On peut utiliser les propriétés des congruences pour simplifier le calcul du reste d'une division. Par exemple, pour trouver le reste de 2100 divisé par 3, on remarque que 2 ≡ -1 [3]. Donc, 2100 ≡ (-1)100 [3], ce qui signifie que 2100 ≡ 1 [3]. Le reste est donc 1.
  • Quand est-il possible de simplifier une congruence en divisant ?

    On peut simplifier une congruence ac ≡ bc [n] en divisant par c seulement si c et n sont premiers entre eux (PGCD(c, n) = 1). Sinon, la simplification est possible mais le module change : a ≡ b [n/PGCD(c, n)].