Analyse d'une Annale Corrigée : Suites Numériques

Énoncé de l'Exercice

Voici l'énoncé type d'un exercice sur les suites numériques, tel qu'il pourrait apparaître dans une annale du baccalauréat :

Soit la suite (u_n) définie par u₀ = 2 et u_n+1 = (1/3)u_n + 2 pour tout entier naturel n.

1. Calculer u₁, u₂ et u₃.
2. Montrer que la suite (u_n) est bornée par 0 et 3.
3. On pose v_n = u_n - 3 pour tout entier naturel n. Montrer que la suite (v_n) est géométrique et déterminer sa raison.
4. Exprimer v_n en fonction de n, puis u_n en fonction de n.
5. Déterminer la limite de la suite (u_n).

Question 1 : Calcul des Premiers Termes

Pour calculer u₁, u₂ et u₃, on utilise la relation de récurrence u_n+1 = (1/3)u_n + 2. Voici le détail des calculs :

• u₁ = (1/3)u₀ + 2 = (1/3) * 2 + 2 = 2/3 + 2 = 8/3
• u₂ = (1/3)u₁ + 2 = (1/3) * (8/3) + 2 = 8/9 + 2 = 26/9
• u₃ = (1/3)u₂ + 2 = (1/3) * (26/9) + 2 = 26/27 + 2 = 80/27

Question 2 : Démonstration que la Suite est Bornée

Pour montrer que 0 < u_n < 3 pour tout n, on utilise le raisonnement par récurrence.

Initialisation : Pour n = 0, u₀ = 2, donc 0 < u₀ < 3. La propriété est vraie pour n = 0.

Hérédité : Supposons que 0 < u_n < 3. Montrons que 0 < u_n+1 < 3.

On a u_n+1 = (1/3)u_n + 2. Puisque 0 < u_n < 3, alors 0 < (1/3)u_n < 1. Donc, 2 < (1/3)u_n + 2 < 3, ce qui implique 2 < u_n+1 < 3. Donc 0 < u_n+1 < 3.

Conclusion : La propriété est vraie pour n = 0, et si elle est vraie pour n, elle est vraie pour n+1. Donc, par récurrence, 0 < u_n < 3 pour tout entier naturel n.

Conseil : La récurrence est un outil puissant, assurez-vous de bien maîtriser les étapes.

Question 3 : Suite Géométrique (v_n)

On a v_n = u_n - 3. Calculons v_n+1 :

v_n+1 = u_n+1 - 3 = (1/3)u_n + 2 - 3 = (1/3)u_n - 1 = (1/3)(u_n - 3) = (1/3)v_n.

Donc, la suite (v_n) est géométrique de raison q = 1/3 et de premier terme v₀ = u₀ - 3 = 2 - 3 = -1.

Conseil : Identifier les suites géométriques est essentiel pour la suite de l'exercice.

Question 4 : Expression de v_n et u_n en fonction de n

Puisque (v_n) est géométrique de raison 1/3 et de premier terme -1, on a :

v_n = v₀ * qⁿ = -1 * (1/3)ⁿ = -(1/3)ⁿ

Comme v_n = u_n - 3, alors u_n = v_n + 3 = 3 - (1/3)ⁿ

Conseil : Bien distinguer la formule générale d'une suite géométrique.

Question 5 : Limite de la Suite (u_n)

On a u_n = 3 - (1/3)ⁿ. Lorsque n tend vers l'infini, (1/3)ⁿ tend vers 0 (car 1/3 est compris entre -1 et 1).

Donc, lim (n -> ∞) u_n = 3 - 0 = 3.

La suite (u_n) converge vers 3.

Conseil : Maîtriser les limites des suites géométriques est fondamental.

Ce qu'il faut retenir

• Suites numériques : Définition, récurrence, convergence, divergence.
• Calcul des termes : Utiliser la relation de récurrence.
• Suites bornées : Démonstration par récurrence.
• Suites géométriques : Identification, raison, terme général.
• Limite d'une suite : Calculer la limite en utilisant les propriétés des suites géométriques.