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Calcul des Volumes : Prisme, Cylindre, Pyramide, Cône et Sphère

Ce cours détaille le calcul des volumes des prismes, cylindres, pyramides, cônes et sphères, avec des exemples concrets et des formules claires.

Introduction aux Volumes

Le volume d'un solide est la mesure de l'espace qu'il occupe. Il est exprimé en unités cubiques (m³, cm³, etc.). Dans ce cours, nous allons explorer le calcul des volumes pour cinq solides géométriques courants : le prisme, le cylindre, la pyramide, le cône et la sphère.

Volume d'un Prisme

Un prisme est un solide géométrique avec deux bases polygonales identiques et parallèles, reliées par des faces latérales rectangulaires. Le volume d'un prisme est donné par la formule :

V = Aire de la base × Hauteur

Où l'aire de la base dépend de la forme du polygone de la base (triangle, carré, pentagone, etc.) et la hauteur est la distance perpendiculaire entre les deux bases.

Exemple : Un prisme droit à base triangulaire a une base avec une aire de 25 cm² et une hauteur de 10 cm. Son volume est V = 25 cm² × 10 cm = 250 cm³.

Volume d'un Cylindre

Un cylindre est un solide géométrique avec deux bases circulaires parallèles et congruentes, reliées par une surface latérale courbe. Le volume d'un cylindre est donné par la formule :

V = πr²h

Où 'r' est le rayon de la base circulaire et 'h' est la hauteur du cylindre.

Exemple : Un cylindre a un rayon de base de 5 cm et une hauteur de 12 cm. Son volume est V = π × (5 cm)² × 12 cm ≈ 942.48 cm³.

Volume d'une Pyramide

Une pyramide est un solide géométrique avec une base polygonale et des faces latérales triangulaires qui convergent vers un point appelé sommet. Le volume d'une pyramide est donné par la formule :

V = (1/3) × Aire de la base × Hauteur

Où l'aire de la base dépend de la forme du polygone de la base et la hauteur est la distance perpendiculaire entre le sommet et la base.

Exemple : Une pyramide à base carrée a une base de côté 6 cm et une hauteur de 8 cm. L'aire de la base est 6 cm × 6 cm = 36 cm². Son volume est V = (1/3) × 36 cm² × 8 cm = 96 cm³.

Volume d'un Cône

Un cône est un solide géométrique avec une base circulaire et une surface latérale courbe qui converge vers un point appelé sommet. Le volume d'un cône est donné par la formule :

V = (1/3)πr²h

Où 'r' est le rayon de la base circulaire et 'h' est la hauteur du cône.

Exemple : Un cône a un rayon de base de 4 cm et une hauteur de 9 cm. Son volume est V = (1/3) × π × (4 cm)² × 9 cm ≈ 150.80 cm³.

Volume d'une Sphère

Une sphère est un solide géométrique parfaitement rond, où chaque point de sa surface est à la même distance de son centre. Le volume d'une sphère est donné par la formule :

V = (4/3)πr³

Où 'r' est le rayon de la sphère.

Exemple : Une sphère a un rayon de 3 cm. Son volume est V = (4/3) × π × (3 cm)³ ≈ 113.10 cm³.

Ce qu'il faut retenir

  • Prisme : V = Aire de la base × Hauteur
  • Cylindre : V = πr²h
  • Pyramide : V = (1/3) × Aire de la base × Hauteur
  • Cône : V = (1/3)πr²h
  • Sphère : V = (4/3)πr³

N'oubliez pas de toujours utiliser les unités de mesure appropriées pour les longueurs et les volumes.

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FAQ

  • Comment trouver l'aire de la base d'un prisme ou d'une pyramide si la base est un polygone complexe ?

    Si la base est un polygone complexe, divisez-la en formes plus simples (triangles, rectangles, etc.) et calculez l'aire de chaque partie. Ensuite, additionnez ces aires pour obtenir l'aire totale de la base.
  • Quelle est la différence entre la hauteur d'une pyramide et son apothème ?

    La hauteur d'une pyramide est la distance perpendiculaire entre le sommet et la base. L'apothème est la distance entre le centre de la base et le milieu d'un côté de la base.