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Continuité d'une fonction en un point

Explorez la notion de continuité en un point avec des explications claires, des exemples détaillés et des exercices pour les élèves de lycée. Découvrez comment déterminer si une fonction est continue en un point donné et approfondissez votre compréhension de l'analyse mathématique.

Définition intuitive de la continuité

La continuité en un point, de manière intuitive, signifie que vous pouvez dessiner le graphe de la fonction autour de ce point sans lever votre crayon. Il n'y a pas de 'trou', de 'saut' ou d'asymptote verticale au niveau de ce point. Plus formellement, cela veut dire que lorsque x s'approche de a, f(x) s'approche de f(a).

Définition formelle de la continuité en un point

Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a un point de I. On dit que f est continue au point a si et seulement si:

  1. f(a) existe (c'est-à-dire que a est dans le domaine de définition de f).
  2. La limite de f(x) quand x tend vers a existe (notée limx→a f(x)).
  3. Cette limite est égale à la valeur de la fonction en a : limx→a f(x) = f(a).
Si l'une de ces conditions n'est pas remplie, la fonction f est dite discontinue au point a.

Exemple 1 : Une fonction continue

Considérons la fonction f(x) = x2. Vérifions si elle est continue au point a = 2.

  1. f(2) = 22 = 4. Donc, f(2) existe.
  2. Calculons la limite de f(x) quand x tend vers 2: limx→2 x2 = 22 = 4.
  3. On a bien limx→2 f(x) = f(2) = 4.
Conclusion: La fonction f(x) = x2 est continue au point x = 2.

Exemple 2 : Une fonction discontinue

Considérons la fonction définie par morceaux suivante: f(x) =

  • x si x < 1
  • 2 si x = 1
  • x + 1 si x > 1
Voyons si elle est continue au point a = 1.
  1. f(1) = 2. Donc, f(1) existe.
  2. Calculons la limite à gauche et à droite de f(x) quand x tend vers 1:
    • limx→1- f(x) = 1 (car on utilise la première branche de la fonction).
    • limx→1+ f(x) = 1 + 1 = 2 (car on utilise la troisième branche de la fonction).
    Comme la limite à gauche et la limite à droite sont différentes, la limite de f(x) quand x tend vers 1 n'existe pas.
Conclusion: La fonction f(x) est discontinue au point x = 1.

Continuité à gauche et à droite

Parfois, on s'intéresse à la continuité d'une fonction uniquement à gauche ou à droite d'un point.

  • Continuité à gauche: f est continue à gauche en a si limx→a- f(x) = f(a).
  • Continuité à droite: f est continue à droite en a si limx→a+ f(x) = f(a).
Dans l'exemple 2, la fonction est continue à droite en x = 1 mais pas continue à gauche.

Opérations et continuité

Les fonctions continues ont des propriétés intéressantes concernant les opérations:

  • La somme, la différence, le produit et le quotient (si le dénominateur ne s'annule pas) de fonctions continues sont des fonctions continues.
  • La composée de fonctions continues est une fonction continue.
Par exemple, si f(x) et g(x) sont continues en a, alors f(x) + g(x), f(x) - g(x), f(x) * g(x) et f(x) / g(x) (si g(a) ≠ 0) sont aussi continues en a.

Ce qu'il faut retenir

  • Une fonction f est continue en un point a si:
    • f(a) est définie.
    • limx→a f(x) existe.
    • limx→a f(x) = f(a).
  • La continuité à gauche et à droite permettent d'étudier le comportement d'une fonction aux 'bords' d'un intervalle ou en des points de discontinuité potentiels.
  • Les opérations sur les fonctions continues (somme, produit, quotient, composition) préservent la continuité.
  • La continuité est une notion fondamentale en analyse, utilisée dans de nombreux théorèmes et applications.

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FAQ

  • Comment montrer qu'une fonction est discontinue en un point ?

    Pour montrer qu'une fonction est discontinue en un point a, il suffit de montrer qu'au moins une des trois conditions de la définition de la continuité n'est pas vérifiée : soit f(a) n'est pas définie, soit la limite de f(x) quand x tend vers a n'existe pas, soit cette limite est différente de f(a).
  • Est-ce qu'une fonction peut être continue en un point mais discontinue ailleurs ?

    Oui, absolument. La continuité est une propriété locale, ce qui signifie qu'elle est définie en un point spécifique. Une fonction peut très bien être continue en un point et discontinue en un autre. Par exemple, la fonction définie par f(x) = 0 si x est rationnel et f(x) = 1 si x est irrationnel est discontinue en tout point, mais on peut construire des fonctions plus 'régulières' avec des discontinuités isolées.
  • Pourquoi la continuité est-elle importante ?

    La continuité est importante car elle est à la base de nombreux résultats importants en analyse, comme le théorème des valeurs intermédiaires, le théorème des bornes atteintes, et la définition de la dérivabilité. Elle permet de comprendre le comportement 'régulier' des fonctions et de faire des prédictions sur leurs valeurs.