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Exercices classiques de suites numériques pour le Bac

Découvrez une série d'exercices classiques sur les suites numériques, incontournables pour la préparation au Baccalauréat en Mathématiques. Ces exercices, corrigés et expliqués en détail, vous aideront à maîtriser les concepts clés et à aborder sereinement les épreuves.

Exercice 1 : Suite arithmétique

Énoncé: Soit la suite (un) définie par u0 = 2 et un+1 = un + 3 pour tout n ≥ 0.

  1. Calculer u1, u2 et u3.
  2. Exprimer un en fonction de n.
  3. Calculer la somme S = u0 + u1 + ... + u10.

Correction:

  1. u1 = u0 + 3 = 2 + 3 = 5 u2 = u1 + 3 = 5 + 3 = 8 u3 = u2 + 3 = 8 + 3 = 11
  2. La suite (un) est une suite arithmétique de raison r = 3 et de premier terme u0 = 2. Donc, un = u0 + nr = 2 + 3n.
  3. La somme des termes d'une suite arithmétique est donnée par S = (nombre de termes) * (premier terme + dernier terme) / 2. Ici, le nombre de termes est 11 (de u0 à u10). Le premier terme est u0 = 2 et le dernier terme est u10 = 2 + 3*10 = 32. Donc, S = 11 * (2 + 32) / 2 = 11 * 34 / 2 = 11 * 17 = 187.

Exercice 2 : Suite géométrique

Énoncé: Soit la suite (vn) définie par v0 = 1 et vn+1 = 2vn pour tout n ≥ 0.

  1. Calculer v1, v2 et v3.
  2. Exprimer vn en fonction de n.
  3. Calculer la somme S = v0 + v1 + ... + v7.

Correction:

  1. v1 = 2v0 = 2 * 1 = 2 v2 = 2v1 = 2 * 2 = 4 v3 = 2v2 = 2 * 4 = 8
  2. La suite (vn) est une suite géométrique de raison q = 2 et de premier terme v0 = 1. Donc, vn = v0 * qn = 1 * 2n = 2n.
  3. La somme des termes d'une suite géométrique est donnée par S = (premier terme) * (1 - raisonnombre de termes) / (1 - raison). Ici, le premier terme est v0 = 1, la raison est q = 2 et le nombre de termes est 8 (de v0 à v7). Donc, S = 1 * (1 - 28) / (1 - 2) = (1 - 256) / (-1) = -255 / -1 = 255.

Exercice 3 : Suite récurrente linéaire d'ordre 2

Énoncé: Soit la suite (wn) définie par w0 = 1, w1 = 2 et wn+2 = 3wn+1 - 2wn pour tout n ≥ 0.

  1. Calculer w2 et w3.
  2. Montrer que la suite (wn) peut s'écrire sous la forme wn = A * 2n + B, où A et B sont des constantes à déterminer.

Correction:

  1. w2 = 3w1 - 2w0 = 3 * 2 - 2 * 1 = 6 - 2 = 4 w3 = 3w2 - 2w1 = 3 * 4 - 2 * 2 = 12 - 4 = 8
  2. On suppose que wn = A * 2n + B. Pour déterminer A et B, on utilise les conditions initiales: Pour n = 0: w0 = A * 20 + B = A + B = 1 Pour n = 1: w1 = A * 21 + B = 2A + B = 2 On a donc le système d'équations: A + B = 1 2A + B = 2 En soustrayant la première équation de la seconde, on obtient: A = 1. En remplaçant A par 1 dans la première équation, on obtient: 1 + B = 1, donc B = 0. Ainsi, wn = 1 * 2n + 0 = 2n. On peut vérifier cette formule pour les premières valeurs: w0 = 20 = 1, w1 = 21 = 2, w2 = 22 = 4, w3 = 23 = 8.

Ce qu'il faut retenir

  • Suites arithmétiques: un+1 = un + r, un = u0 + nr, Sn = (n+1)(u0 + un)/2
  • Suites géométriques: vn+1 = qvn, vn = v0qn, Sn = v0(1-qn+1)/(1-q) si q≠1
  • Suites récurrentes: Savoir résoudre les équations caractéristiques pour déterminer l'expression explicite de la suite.

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FAQ

  • Quelle est la différence entre une suite arithmétique et une suite géométrique?

    Une suite arithmétique a une différence constante entre les termes consécutifs, tandis qu'une suite géométrique a un rapport constant entre les termes consécutifs.
  • Comment calculer la somme des n premiers termes d'une suite?

    Pour une suite arithmétique, la somme est (n/2)(premier terme + dernier terme). Pour une suite géométrique, la somme est a(1-r^n)/(1-r), où a est le premier terme et r est la raison.