Exercices : Opérations sur les Fonctions

Exercice 1 : Somme et Produit

Soient f(x) = 3x - 2 et g(x) = x² + 1. Déterminez (f+g)(x) et (f.g)(x), puis précisez leurs domaines de définition. Solution : (f+g)(x) = 3x - 2 + x² + 1 = x² + 3x - 1. Domaine : ℝ. (f.g)(x) = (3x - 2)(x² + 1) = 3x³ - 2x² + 3x - 2. Domaine : ℝ.

Exercice 2 : Composition de Fonctions

Soient f(x) = √x et g(x) = 2x - 1. Déterminez (f o g)(x) et (g o f)(x), puis précisez leurs domaines de définition. Solution : (f o g)(x) = √(2x - 1). Domaine : x ≥ 1/2, soit [1/2 ; +∞[. (g o f)(x) = 2√x - 1. Domaine : x ≥ 0, soit [0 ; +∞[.

Exercice 3 : Domaines de Définition et Opérations

Soient f(x) = 1/(x-2) et g(x) = √(x+3). Déterminez (f+g)(x), (f.g)(x) et (f o g)(x), puis précisez leurs domaines de définition. Solution : (f+g)(x) = 1/(x-2) + √(x+3). Domaine : [-3; 2[ ∪ ]2; +∞[. (f.g)(x) = √(x+3)/(x-2). Domaine : [-3; 2[ ∪ ]2; +∞[. (f o g)(x) = 1/(√(x+3) - 2). Pour le domaine, il faut x+3 ≥ 0 (donc x ≥ -3) et √(x+3) ≠ 2 (donc x+3 ≠ 4, soit x ≠ 1). Domaine : [-3; 1[ ∪ ]1; +∞[.

Exercice 4 : Opérations et Résolution

Soient f(x) = x² - 4 et g(x) = x + 2. Déterminez (f/g)(x) et simplifiez l'expression. Quel est le domaine de définition de (f/g)(x)? Solution : (f/g)(x) = (x² - 4) / (x + 2) = ((x-2)(x+2))/(x+2). Après simplification, (f/g)(x) = x - 2. Le domaine de définition est l'ensemble des réels sauf x = -2, car la division par zéro n'est pas autorisée. Ainsi, le domaine est ℝ \ {-2}.

Exercice 5 : Composition Itérative

Soit f(x) = 2x. Déterminez f(f(x)), f(f(f(x))) et généralisez pour fⁿ(x) (où fⁿ est la composition de f avec elle-même n fois). Solution : f(f(x)) = f(2x) = 2(2x) = 4x = 2²x. f(f(f(x))) = f(4x) = 2(4x) = 8x = 2³x. Généralisation : fⁿ(x) = 2ⁿx.

Ce qu'il faut retenir

• Appliquer les règles de somme, produit et composition.
• Déterminer correctement le domaine de définition après chaque opération.
• Simplifier les expressions obtenues.
• Utiliser des exemples pour s'entraîner.