Dérivées et Primitives des Fonctions Exponentielles avec Base 'a'

Introduction aux Fonctions Exponentielles Générales

Au-delà de la fonction exponentielle naturelle e^x, les fonctions exponentielles générales, notées a^x, où a est une constante positive différente de 1, sont également importantes. Comprendre leurs dérivées et primitives est essentiel pour l'analyse mathématique. Ces fonctions décrivent une croissance ou une décroissance exponentielle selon que a > 1 ou 0 < a < 1.

Dérivée de a^x

La dérivée de la fonction exponentielle a^x est donnée par :
d/dx (a^x) = a^x * ln(a)
La présence de ln(a) est ce qui différencie cette formule de la dérivée de e^x. Pour dériver cela, on peut utiliser la définition :
a^x = e^{x * ln(a)}
Donc,
d/dx (a^x) = d/dx (e^{x * ln(a)}) = ln(a) * e^{x * ln(a)} = ln(a) * a^x
Si nous avons une fonction plus complexe f(x) = a^u(x), où u(x) est une fonction dérivable, nous utilisons la règle de la chaîne :
d/dx (a^u(x)) = u'(x) * a^u(x) * ln(a)

Primitive de a^x

La primitive de la fonction exponentielle a^x est donnée par :
∫ a^x dx = a^x / ln(a) + C
Cette formule est la conséquence directe de la formule de la dérivée. Pour vérifier, il suffit de dériver le résultat et de constater qu'on obtient bien la fonction initiale :
d/dx (a^x / ln(a) + C) = (1/ln(a)) * d/dx (a^x) = (1/ln(a)) * a^x * ln(a) = a^x
Si nous avons une fonction plus complexe qui nécessite une intégration par substitution ou par parties, il faut adapter la méthode en conséquence.

Exemples et Exercices

Voici quelques exemples et exercices pour illustrer les concepts :

Exemple 1 : Trouver la dérivée de f(x) = 2^x.
Solution : f'(x) = 2^x * ln(2).

Exemple 2 : Trouver la dérivée de f(x) = 10^sin(x).
Solution : f'(x) = cos(x) * 10^sin(x) * ln(10).

Exercice 1 : Trouver la primitive de ∫ 3^x dx.
Exercice 2 : Trouver la primitive de ∫ x * 2^x2 dx.

Ce qu'il faut retenir

• La dérivée de a^x est a^x * ln(a).
• La primitive de a^x est a^x / ln(a) + C.
• La règle de la chaîne s'applique pour les fonctions composées du type a^u(x).
• Comprendre la relation entre la dérivée et la primitive.