Mathématiques > Géométrie > Trigonométrie > Équations trigonométriques élémentaires

Résoudre les équations trigonométriques de base

Un guide complet pour résoudre les équations trigonométriques fondamentales : sin(x) = a, cos(x) = a et tan(x) = a. Apprenez les méthodes, astuces et pièges à éviter pour exceller en trigonométrie.

Introduction aux équations trigonométriques

Les équations trigonométriques sont des équations où l'inconnue apparaît dans une fonction trigonométrique (sinus, cosinus, tangente, etc.). Résoudre une équation trigonométrique consiste à trouver toutes les valeurs de l'inconnue (souvent notée 'x') qui vérifient l'équation. Contrairement aux équations algébriques classiques, les équations trigonométriques ont souvent une infinité de solutions en raison de la périodicité des fonctions trigonométriques.

Équation sin(x) = a

1. Comprendre le sinus : Le sinus d'un angle dans le cercle trigonométrique correspond à l'ordonnée du point sur le cercle.

2. Existence des solutions : L'équation sin(x) = a admet des solutions si et seulement si -1 ≤ a ≤ 1. Si |a| > 1, il n'y a pas de solutions réelles.

3. Solution fondamentale : Trouvez une solution particulière x0 telle que sin(x0) = a. Cette solution peut être trouvée à l'aide de la fonction arcsin (sin-1) de votre calculatrice (en radians!). Donc, x0 = arcsin(a).

4. Périodicité du sinus : La fonction sinus est périodique de période 2π. Cela signifie que sin(x) = sin(x + 2kπ) pour tout entier k.

5. Symétrie : Le sinus a la propriété sin(x) = sin(π - x). Cela signifie que si x0 est une solution, alors π - x0 est aussi une solution.

6. Solutions générales : Les solutions générales de l'équation sin(x) = a sont donc :

* x = x0 + 2kπ
* x = (π - x0) + 2kπ

où k est un entier relatif (k ∈ ℤ).

Exemple : Résoudre sin(x) = 0.5
arcsin(0.5) = π/6
Solutions: x = π/6 + 2kπ et x = (π - π/6) + 2kπ = 5π/6 + 2kπ

Équation cos(x) = a

1. Comprendre le cosinus : Le cosinus d'un angle dans le cercle trigonométrique correspond à l'abscisse du point sur le cercle.

2. Existence des solutions : L'équation cos(x) = a admet des solutions si et seulement si -1 ≤ a ≤ 1. Si |a| > 1, il n'y a pas de solutions réelles.

3. Solution fondamentale : Trouvez une solution particulière x0 telle que cos(x0) = a. Cette solution peut être trouvée à l'aide de la fonction arccos (cos-1) de votre calculatrice (en radians!). Donc, x0 = arccos(a).

4. Périodicité du cosinus : La fonction cosinus est périodique de période 2π. Cela signifie que cos(x) = cos(x + 2kπ) pour tout entier k.

5. Symétrie : Le cosinus a la propriété cos(x) = cos(-x). Cela signifie que si x0 est une solution, alors -x0 est aussi une solution.

6. Solutions générales : Les solutions générales de l'équation cos(x) = a sont donc :

* x = x0 + 2kπ
* x = -x0 + 2kπ

où k est un entier relatif (k ∈ ℤ).

Exemple : Résoudre cos(x) = √2/2
arccos(√2/2) = π/4
Solutions: x = π/4 + 2kπ et x = -π/4 + 2kπ

Équation tan(x) = a

1. Comprendre la tangente : La tangente d'un angle dans le cercle trigonométrique est le rapport du sinus sur le cosinus (sin(x)/cos(x)). C'est aussi la pente de la droite qui relie l'origine du cercle au point correspondant à l'angle sur le cercle.

2. Existence des solutions : L'équation tan(x) = a admet toujours des solutions pour tout nombre réel 'a'. Il n'y a pas de restrictions sur la valeur de 'a' comme pour le sinus et le cosinus.

3. Solution fondamentale : Trouvez une solution particulière x0 telle que tan(x0) = a. Cette solution peut être trouvée à l'aide de la fonction arctan (tan-1) de votre calculatrice (en radians!). Donc, x0 = arctan(a).

4. Périodicité de la tangente : La fonction tangente est périodique de période π. Cela signifie que tan(x) = tan(x + kπ) pour tout entier k.

5. Solutions générales : La solution générale de l'équation tan(x) = a est donc :

* x = x0 + kπ

où k est un entier relatif (k ∈ ℤ).

Exemple : Résoudre tan(x) = 1
arctan(1) = π/4
Solution: x = π/4 + kπ

Conseils et pièges à éviter

  • Utiliser les radians : Assurez-vous que votre calculatrice est en mode radians lors de l'utilisation des fonctions arcsin, arccos et arctan.
  • Ne pas oublier la périodicité : N'oubliez pas d'ajouter '+ 2kπ' (ou '+ kπ' pour la tangente) pour obtenir toutes les solutions.
  • Simplification : Simplifiez toujours vos solutions autant que possible.
  • Vérification : Vérifiez toujours vos solutions en les remplaçant dans l'équation d'origine.
  • Restrictions de domaine : Soyez conscient des restrictions de domaine des fonctions trigonométriques inverses (arcsin, arccos, arctan).

Ce qu'il faut retenir

  • Pour résoudre sin(x) = a, trouver x0 = arcsin(a) et utiliser les solutions x = x0 + 2kπ et x = (π - x0) + 2kπ.
  • Pour résoudre cos(x) = a, trouver x0 = arccos(a) et utiliser les solutions x = x0 + 2kπ et x = -x0 + 2kπ.
  • Pour résoudre tan(x) = a, trouver x0 = arctan(a) et utiliser la solution x = x0 + kπ.
  • Toujours vérifier si |a| ≤ 1 pour sin(x) = a et cos(x) = a. Sinon, il n'y a pas de solutions.
  • La période de sin(x) et cos(x) est 2π, tandis que la période de tan(x) est π.

← Résolution de problèmes géométriques avec les coordonnées Théorème de Pythagore et sa réciproque : Guide complet →

FAQ

  • Pourquoi les équations trigonométriques ont-elles une infinité de solutions ?

    Parce que les fonctions trigonométriques (sinus, cosinus, tangente, etc.) sont périodiques. Elles se répètent indéfiniment.
  • Comment savoir si une équation trigonométrique n'a pas de solution ?

    L'équation sin(x) = a ou cos(x) = a n'a pas de solution si |a| > 1.
  • Est-ce que la calculatrice donne toutes les solutions d'une équation trigonométrique?

    Non, la calculatrice donne seulement une solution particulière (grâce aux fonctions arcsin, arccos, arctan). Il faut ensuite utiliser la périodicité et les symétries des fonctions trigonométriques pour trouver toutes les solutions.