Continuité d'une fonction sur un intervalle

Définition de la continuité sur un intervalle

Une fonction f est dite continue sur un intervalle I si elle est continue en tout point de cet intervalle. Cela signifie que pour chaque point a appartenant à l'intervalle I, la limite de f(x) lorsque x tend vers a est égale à f(a).

En termes plus formels :

• Pour tout a appartenant à l'intervalle ouvert I (sans les bornes), lim_x→a f(x) = f(a).
• Si a est une borne de l'intervalle I, on doit considérer les limites à droite ou à gauche selon le cas. Par exemple, si I = [a, b], alors lim_x→a⁺ f(x) = f(a) et lim_x→b^- f(x) = f(b).

Continuité à droite et à gauche

Pour étudier la continuité aux bornes d'un intervalle, il est important de comprendre les notions de continuité à droite et à gauche.

• Continuité à droite : Une fonction f est continue à droite en un point a si lim_x→a⁺ f(x) = f(a). On regarde uniquement les valeurs de x supérieures à a.
• Continuité à gauche : Une fonction f est continue à gauche en un point a si lim_x→a^- f(x) = f(a). On regarde uniquement les valeurs de x inférieures à a.

Pour qu'une fonction soit continue sur un intervalle fermé [a, b], elle doit être continue sur l'intervalle ouvert (a, b), continue à droite en a, et continue à gauche en b.

Exemples de fonctions continues sur des intervalles

Voici quelques exemples de fonctions et d'intervalles sur lesquels elles sont continues :

• Fonctions polynomiales : Les fonctions polynomiales (comme f(x) = x² + 3x - 1) sont continues sur tout l'ensemble des nombres réels (ℝ).
• Fonctions rationnelles : Les fonctions rationnelles (comme f(x) = (x + 1) / (x - 2)) sont continues sur tout leur domaine de définition. Dans cet exemple, la fonction est continue sur ℝ \ {2} (tous les réels sauf 2).
• Fonctions trigonométriques : Les fonctions sinus et cosinus sont continues sur tout l'ensemble des nombres réels (ℝ). La fonction tangente est continue sur son domaine de définition (ℝ \ {π/2 + kπ, k ∈ ℤ}).
• Fonctions racine carrée : La fonction racine carrée (f(x) = √x) est continue sur [0, +∞).

Comment déterminer la continuité sur un intervalle

Pour déterminer si une fonction est continue sur un intervalle, vous pouvez suivre les étapes suivantes :

1. Identifier le domaine de définition de la fonction.
2. Vérifier si la fonction est continue en tout point de l'intervalle ouvert. Cela peut impliquer de vérifier la continuité des fonctions élémentaires qui la composent et d'identifier les points où la fonction pourrait ne pas être continue (par exemple, les points où le dénominateur d'une fonction rationnelle s'annule).
3. Vérifier la continuité aux bornes de l'intervalle. Si l'intervalle est fermé, vérifiez la continuité à droite à la borne inférieure et la continuité à gauche à la borne supérieure.

Exemple :

Considérons la fonction f(x) = x² sur l'intervalle [-1, 2].

1. Le domaine de définition de f(x) est ℝ.
2. f(x) = x² est une fonction polynomiale, elle est donc continue sur ℝ, et donc sur l'intervalle ouvert (-1, 2).
3. Vérifions la continuité aux bornes :
   • En x = -1 : lim_x→-1⁺ f(x) = (-1)² = 1 = f(-1). Donc, f(x) est continue à droite en -1.
   • En x = 2 : lim_x→2^- f(x) = (2)² = 4 = f(2). Donc, f(x) est continue à gauche en 2.

Conclusion : La fonction f(x) = x² est continue sur l'intervalle [-1, 2].

Ce qu'il faut retenir

• Une fonction f est continue sur un intervalle I si elle est continue en tout point de cet intervalle.
• La continuité à droite en a signifie que lim_x→a⁺ f(x) = f(a).
• La continuité à gauche en a signifie que lim_x→a^- f(x) = f(a).
• Les fonctions polynomiales, rationnelles (sur leur domaine), trigonométriques (sinus, cosinus), et racine carrée (sur [0, +∞)) sont des exemples de fonctions continues sur certains intervalles.
• Pour vérifier la continuité sur un intervalle, vérifiez la continuité sur l'intervalle ouvert et aux bornes (continuité à droite et à gauche).