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Exercices corrigés : Calcul de l'inverse d'une matrice carrée

Entraînez-vous à calculer l'inverse d'une matrice carrée avec ces exercices corrigés, adaptés aux élèves de Terminale Spécialité Mathématiques. Application des méthodes de calcul et vérification des résultats.

Matrices et calcul matriciel pour modéliser et résoudre des systèmes linéaires
Exercices corrigés : Calcul de l'inverse d'une matrice carrée

Exercice 1 : Inversibilité et calcul d'inverse 2x2

Soit la matrice A =

3 1
2 1


1. Montrer que A est inversible.
2. Calculer A-1.

Correction :

1. det(A) = (3 × 1) - (1 × 2) = 3 - 2 = 1. Comme det(A) ≠ 0, A est inversible.

2. A-1 = (1/1) ×

1 -1
-2 3


A-1 =

1 -1
-2 3

Exercice 2 : Inversibilité et calcul d'inverse 3x3 (Gauss-Jordan)

Soit la matrice B =

1 0 1
2 1 0
0 1 3


1. Calculer det(B).
2. En utilisant la méthode de Gauss-Jordan, calculer B-1 si elle existe.

Correction :

1. det(B) = 1(1×3 - 0×1) - 0 + 1(2×1 - 0×1) = 3 + 2 = 5. det(B) = 5.

2. On forme la matrice augmentée :

[B | I3] =

1 0 1 | 1 0 0
2 1 0 | 0 1 0
0 1 3 | 0 0 1


En appliquant les opérations élémentaires : L2 = L2 - 2L1:

1 0 1 | 1 0 0
0 1 -2 | -2 1 0
0 1 3 | 0 0 1


L3 = L3 - L2:

1 0 1 | 1 0 0
0 1 -2 | -2 1 0
0 0 5 | 2 -1 1


L3 = (1/5)L3:

1 0 1 | 1 0 0
0 1 -2 | -2 1 0
0 0 1 | 2/5 -1/5 1/5


L2 = L2 + 2L3 et L1 = L1 - L3:

[I3 | B-1] =

1 0 0 | 3/5 1/5 -1/5
0 1 0 | -6/5 3/5 2/5
0 0 1 | 2/5 -1/5 1/5


Donc, B-1 =

3/5 1/5 -1/5
-6/5 3/5 2/5
2/5 -1/5 1/5

Ce qu'il faut retenir

  • Calculer le déterminant est une étape cruciale pour déterminer si une matrice est inversible.
  • La méthode de Gauss-Jordan, bien que plus longue, est une méthode systématique pour calculer l'inverse.
  • Vérifiez toujours votre résultat en multipliant la matrice originale par l'inverse calculé.

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FAQ

  • Est-il possible qu'une matrice ait plusieurs inverses ?

    Non, si une matrice a un inverse, cet inverse est unique.
  • Que faire si, pendant la méthode de Gauss-Jordan, je me retrouve avec une ligne de zéros dans la matrice à gauche (avant la barre verticale) ?

    Cela signifie que la matrice originale n'est pas inversible. Le processus de Gauss-Jordan ne pourra pas transformer la matrice en matrice identité.