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Exercices corrigés : Calcul de l'inverse d'une matrice carrée

Entraînez-vous à calculer l'inverse d'une matrice carrée avec ces exercices corrigés, adaptés aux élèves de Terminale Spécialité Mathématiques. Application des méthodes de calcul et vérification des résultats.

Exercice 1 : Inversibilité et calcul d'inverse 2x2

Soit la matrice A =

3 1
2 1


1. Montrer que A est inversible.
2. Calculer A-1.

Correction :

1. det(A) = (3 × 1) - (1 × 2) = 3 - 2 = 1. Comme det(A) ≠ 0, A est inversible.

2. A-1 = (1/1) ×

1 -1
-2 3


A-1 =

1 -1
-2 3

Exercice 2 : Inversibilité et calcul d'inverse 3x3 (Gauss-Jordan)

Soit la matrice B =

1 0 1
2 1 0
0 1 3


1. Calculer det(B).
2. En utilisant la méthode de Gauss-Jordan, calculer B-1 si elle existe.

Correction :

1. det(B) = 1(1×3 - 0×1) - 0 + 1(2×1 - 0×1) = 3 + 2 = 5. det(B) = 5.

2. On forme la matrice augmentée :

[B | I3] =

1 0 1 | 1 0 0
2 1 0 | 0 1 0
0 1 3 | 0 0 1


En appliquant les opérations élémentaires : L2 = L2 - 2L1:

1 0 1 | 1 0 0
0 1 -2 | -2 1 0
0 1 3 | 0 0 1


L3 = L3 - L2:

1 0 1 | 1 0 0
0 1 -2 | -2 1 0
0 0 5 | 2 -1 1


L3 = (1/5)L3:

1 0 1 | 1 0 0
0 1 -2 | -2 1 0
0 0 1 | 2/5 -1/5 1/5


L2 = L2 + 2L3 et L1 = L1 - L3:

[I3 | B-1] =

1 0 0 | 3/5 1/5 -1/5
0 1 0 | -6/5 3/5 2/5
0 0 1 | 2/5 -1/5 1/5


Donc, B-1 =

3/5 1/5 -1/5
-6/5 3/5 2/5
2/5 -1/5 1/5

Ce qu'il faut retenir

  • Calculer le déterminant est une étape cruciale pour déterminer si une matrice est inversible.
  • La méthode de Gauss-Jordan, bien que plus longue, est une méthode systématique pour calculer l'inverse.
  • Vérifiez toujours votre résultat en multipliant la matrice originale par l'inverse calculé.

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FAQ

  • Est-il possible qu'une matrice ait plusieurs inverses ?

    Non, si une matrice a un inverse, cet inverse est unique.
  • Que faire si, pendant la méthode de Gauss-Jordan, je me retrouve avec une ligne de zéros dans la matrice à gauche (avant la barre verticale) ?

    Cela signifie que la matrice originale n'est pas inversible. Le processus de Gauss-Jordan ne pourra pas transformer la matrice en matrice identité.