Applications des Équations et Inéquations Exponentielles et Logarithmiques

Intérêts Composés en Finance

Les intérêts composés sont un exemple courant d'application des équations exponentielles. La formule pour calculer le montant final (A) après n années avec un capital initial (P), un taux d'intérêt annuel (r) et des intérêts composés annuellement est :

A = P(1 + r)ⁿ

Exemple : Si vous investissez 1000 € à un taux d'intérêt annuel de 5%, combien de temps faut-il pour que votre investissement double ?

• On cherche n tel que A = 2P, donc 2000 = 1000(1 + 0.05)ⁿ.
• On simplifie : 2 = (1.05)ⁿ.
• On applique le logarithme népérien : ln(2) = n * ln(1.05).
• Donc, n = ln(2) / ln(1.05) ≈ 14.21 années.

Il faut environ 14.21 ans pour que l'investissement double.

Décroissance Radioactive en Physique

La décroissance radioactive est un phénomène où le nombre d'atomes d'une substance radioactive diminue avec le temps. La loi de décroissance est donnée par :

N(t) = N₀ * e^-λt

où N(t) est le nombre d'atomes au temps t, N₀ est le nombre initial d'atomes, et λ est la constante de désintégration.

Exemple : Le carbone 14 a une demi-vie de 5730 ans. Déterminer la constante de désintégration λ.

• La demi-vie (T) est le temps nécessaire pour que le nombre d'atomes soit réduit de moitié. Donc, N(T) = N₀ / 2.
• On a N₀ / 2 = N₀ * e^-λT.
• On simplifie : 1 / 2 = e^-λT.
• On applique le logarithme népérien : ln(1/2) = -λT.
• Donc, λ = -ln(1/2) / T = ln(2) / 5730 ≈ 0.000121 par an.

Croissance Bactérienne en Biologie

La croissance bactérienne peut être modélisée par une équation exponentielle. Le nombre de bactéries (N) au temps (t) est donné par :

N(t) = N₀ * e^kt

où N₀ est le nombre initial de bactéries, et k est le taux de croissance.

Exemple : Une culture bactérienne commence avec 100 bactéries et double toutes les 2 heures. Déterminer le taux de croissance k.

• Après 2 heures, N(2) = 2N₀, donc 200 = 100 * e^2k.
• On simplifie : 2 = e^2k.
• On applique le logarithme népérien : ln(2) = 2k.
• Donc, k = ln(2) / 2 ≈ 0.3466 par heure.

Échelle de Richter en Sismologie

L'échelle de Richter est une échelle logarithmique utilisée pour mesurer la magnitude des tremblements de terre. La magnitude (M) est donnée par :

M = log₁₀(A / A₀)

où A est l'amplitude maximale enregistrée par un sismographe et A₀ est une amplitude de référence.

Exemple : Un tremblement de terre a une amplitude 1000 fois plus grande que l'amplitude de référence. Quelle est sa magnitude sur l'échelle de Richter ?

• A = 1000 * A₀.
• Donc, M = log₁₀(1000 * A₀ / A₀) = log₁₀(1000) = 3.

La magnitude du tremblement de terre est de 3.

Ce qu'il faut retenir

• Intérêts Composés : A = P(1 + r)ⁿ permet de calculer le montant final après n années.
• Décroissance Radioactive : N(t) = N₀ * e^-λt décrit la diminution du nombre d'atomes avec le temps.
• Croissance Bactérienne : N(t) = N₀ * e^kt modélise l'augmentation du nombre de bactéries.
• Échelle de Richter : M = log₁₀(A / A₀) mesure la magnitude des tremblements de terre.
• Ces applications montrent l'importance des fonctions exponentielles et logarithmiques dans différents domaines scientifiques et financiers.