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Exercices corrigés sur le Cosinus, Sinus et Tangente d'un angle

Entraînez-vous avec une série d'exercices corrigés pour maîtriser le calcul du cosinus, sinus et tangente dans des triangles rectangles. Ces exercices sont adaptés aux élèves de lycée et couvrent différents niveaux de difficulté.

Exercice 1 : Calcul des côtés

Énoncé: Dans un triangle rectangle ABC, rectangle en B, l'angle  mesure 30° et l'hypoténuse AC mesure 10 cm. Calculer les longueurs des côtés AB et BC. Solution:

  • cos  = AB / AC => AB = AC * cos  = 10 * cos(30°) = 10 * (√3/2) = 5√3 cm
  • sin  = BC / AC => BC = AC * sin  = 10 * sin(30°) = 10 * (1/2) = 5 cm

Exercice 2 : Calcul des angles

Énoncé: Dans un triangle rectangle DEF, rectangle en E, DE = 6 cm et DF = 8 cm. Calculer les mesures des angles D et F. Solution:

  • cos D = DE / DF = 6 / 8 = 3/4. => D = arccos(3/4) ≈ 41.41°
  • sin F = DE / DF = 6 / 8 = 3/4. => F = arcsin(3/4) ≈ 48.59°
Vérification: D + F = 41.41° + 48.59° = 90° (la somme des angles aigus dans un triangle rectangle est de 90°).

Exercice 3 : Utilisation de la tangente

Énoncé: Un observateur se trouve à 50 mètres de la base d'une tour. L'angle d'élévation du sommet de la tour est de 40°. Calculer la hauteur de la tour. Solution:

  • tan(40°) = hauteur / distance. Donc, hauteur = distance * tan(40°) = 50 * tan(40°) ≈ 50 * 0.8391 ≈ 41.95 mètres

Exercice 4: Triangle quelconque

Énoncé : On considère un triangle ABC. On donne AB= 7 cm, BC= 8 cm et l'angle B=60°. Calculer l'aire du triangle ABC. Solution: L'aire du triangle est donnée par la formule: Aire = (1/2) * AB * BC * sin B = (1/2) * 7 * 8 * sin(60°) = 28 * (√3/2) = 14√3 cm²

Ce qu'il faut retenir

  • Identifier correctement le côté opposé, le côté adjacent et l'hypoténuse par rapport à l'angle considéré.
  • Utiliser les définitions de cosinus, sinus et tangente pour résoudre des problèmes impliquant des triangles rectangles.
  • Maîtriser l'utilisation des fonctions trigonométriques inverses pour trouver les angles.
  • Appliquer les connaissances en trigonométrie à des problèmes concrets (hauteur d'un objet, distance, etc.).

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FAQ

  • Est-ce que cos, sin et tan peuvent être négatifs ?

    Oui, dans le cercle trigonométrique, les valeurs de cosinus, sinus et tangente peuvent être négatives selon le quadrant où se trouve l'angle. Mais dans un triangle rectangle, comme on ne considère que des angles aigus (entre 0 et 90 degrés), les valeurs sont toujours positives.
  • Comment utiliser la trigonométrie si le triangle n'est pas rectangle ?

    Si le triangle n'est pas rectangle, on peut utiliser la loi des sinus et la loi des cosinus pour résoudre le problème. Ces lois établissent des relations entre les angles et les côtés de n'importe quel triangle.