La Continuité : Une Approche Intuitive

Qu'est-ce que la Continuité ? Une Idée Simple

La continuité, dans son sens le plus simple, signifie que l'on peut tracer le graphe d'une fonction sans lever son crayon. Imaginez une route sans trous ni sauts abrupts. C'est l'idée de base d'une fonction continue. Pour qu'une fonction f soit continue en un point a , sa valeur f(a) doit exister, et quand x se rapproche de a , f(x) doit se rapprocher de f(a) . En d'autres termes, il n'y a pas de 'rupture' soudaine au point a . Nous allons explorer cette notion plus en détail.

Exemples de Fonctions Continues et Discontinues

• Fonctions Continues : La fonction f(x) = x² est continue partout. On peut tracer sa courbe (une parabole) sans jamais lever le crayon. De même, f(x) = sin(x) et f(x) = cos(x) sont continues sur l'ensemble des nombres réels. Les fonctions polynomiales (comme f(x) = 3x³ - 2x + 1 ) sont également continues.
• Fonctions Discontinues : La fonction f(x) = 1/x est discontinue en x = 0 . Quand x approche 0 par la droite, f(x) tend vers l'infini positif. Quand x approche 0 par la gauche, f(x) tend vers l'infini négatif. Il y a un saut, une rupture. Un autre exemple est la fonction définie par morceaux f(x) = 0 si x < 0 et f(x) = 1 si x ≥ 0 . Elle est discontinue en x = 0 car il y a un saut de 0 à 1.

La Limite : Un Outil Essentiel pour Comprendre la Continuité

Pour comprendre la continuité de manière plus rigoureuse, on utilise la notion de limite. La limite d'une fonction f(x) quand x tend vers a , notée lim _x→a f(x) , est la valeur vers laquelle f(x) se rapproche lorsque x se rapproche de a . Pour qu'une fonction soit continue en a, il faut que :

1. f(a) existe (la fonction est définie en a).
2. lim _x→a f(x) existe (la limite de f(x) quand x tend vers a existe).
3. lim _x→a f(x) = f(a) (la limite est égale à la valeur de la fonction en a).

Continuité à droite et à gauche

Il existe des notions de continuité à droite et à gauche. Une fonction est continue à droite en un point a si lim _x→a⁺ f(x) = f(a). De même, elle est continue à gauche en a si lim _x→a^- f(x) = f(a). Une fonction est continue en un point si et seulement si elle est continue à droite et à gauche en ce point. Les continuité à droite et à gauche sont particulièrement utiles pour analyser des fonctions définies par morceaux.

Exemples Concrets pour Illustrer la Continuité

Exemple 1 : Considérez la fonction f(x) = x + 1. Cette fonction est continue partout car sa limite en n'importe quel point est égale à sa valeur en ce point.

Exemple 2 : Prenons la fonction g(x) définie comme suit : g(x) = x² si x < 1 et g(x) = 2 si x ≥ 1. Analysons la continuité en x = 1. La limite à gauche est lim _x→1^- g(x) = 1² = 1. La limite à droite est lim _x→1⁺ g(x) = 2. Comme les limites à gauche et à droite sont différentes, la fonction est discontinue en x = 1.

Exemple 3 : Soit la fonction h(x) = |x| (valeur absolue de x). Cette fonction est continue partout. Bien que sa dérivée n'existe pas en x = 0, elle reste continue. En effet, lim _x→0^- h(x) = 0 et lim _x→0⁺ h(x) = 0, et h(0) = 0.

Ce qu'il faut retenir

• Définition Intuitive : Une fonction est continue si on peut tracer son graphe sans lever le crayon.
• Conditions de Continuité : Pour qu'une fonction f soit continue en un point a :
  • f(a) doit exister.
  • La limite de f(x) quand x tend vers a doit exister.
  • Cette limite doit être égale à f(a).
• Discontinuité : Une fonction est discontinue si elle présente un saut, un trou ou une asymptote verticale.
• Limites : La notion de limite est essentielle pour définir et comprendre la continuité.
• Continuité à droite et à gauche: Une fonction est continue en un point si elle est continue à droite et à gauche en ce point.