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Opérations sur les Polynômes : Addition, Soustraction, Multiplication

Apprenez à maîtriser les opérations d'addition, de soustraction et de multiplication sur les polynômes avec des explications claires, des exemples détaillés et des exercices corrigés. Ce guide complet est conçu pour les élèves de lycée.

Introduction aux Polynômes

Un polynôme est une expression mathématique constituée de variables (souvent notées 'x') et de coefficients, combinés à l'aide d'opérations d'addition, de soustraction et de multiplication, avec des exposants entiers positifs. La forme générale d'un polynôme est : anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0, où an, an-1, ..., a1, a0 sont les coefficients et n est le degré du polynôme.

Exemple: 3x2 + 2x - 5 est un polynôme de degré 2.

Addition de Polynômes

Pour additionner deux polynômes, il suffit d'additionner les termes semblables (c'est-à-dire les termes ayant la même variable et le même exposant).

Méthode :

  1. Identifiez les termes semblables dans les deux polynômes.
  2. Additionnez les coefficients des termes semblables.
  3. Écrivez le nouveau polynôme en combinant les termes résultants.

Exemple : (2x2 + 3x - 1) + (x2 - x + 4) = (2+1)x2 + (3-1)x + (-1+4) = 3x2 + 2x + 3

Soustraction de Polynômes

Pour soustraire un polynôme d'un autre, il faut distribuer le signe négatif à tous les termes du polynôme à soustraire, puis procéder comme pour l'addition en combinant les termes semblables.

Méthode :

  1. Distribuez le signe négatif au polynôme à soustraire.
  2. Identifiez les termes semblables dans les deux polynômes.
  3. Additionnez les coefficients des termes semblables (en tenant compte du signe négatif).
  4. Écrivez le nouveau polynôme en combinant les termes résultants.

Exemple : (4x3 - 2x + 5) - (x3 + x2 - 3) = 4x3 - 2x + 5 - x3 - x2 + 3 = (4-1)x3 - x2 - 2x + (5+3) = 3x3 - x2 - 2x + 8

Multiplication de Polynômes

Pour multiplier deux polynômes, il faut multiplier chaque terme du premier polynôme par chaque terme du second polynôme, puis combiner les termes semblables. On peut utiliser la méthode de la distribution.

Méthode :

  1. Distribuez chaque terme du premier polynôme sur tous les termes du second polynôme.
  2. Simplifiez chaque terme en multipliant les coefficients et en additionnant les exposants des variables.
  3. Combinez les termes semblables.

Exemple : (x + 2)(3x - 1) = x(3x) + x(-1) + 2(3x) + 2(-1) = 3x2 - x + 6x - 2 = 3x2 + 5x - 2

Exemple avec un polynôme plus complexe: (x2 + 2x - 1)(x + 3) = x2(x) + x2(3) + 2x(x) + 2x(3) - 1(x) - 1(3) = x3 + 3x2 + 2x2 + 6x - x - 3 = x3 + 5x2 + 5x - 3

Ce qu'il faut retenir

  • Addition et Soustraction : Combiner les termes semblables en additionnant ou soustrayant leurs coefficients.
  • Multiplication : Distribuer chaque terme d'un polynôme sur chaque terme de l'autre, puis combiner les termes semblables.
  • Termes Semblables : Termes ayant la même variable et le même exposant.
  • Il est important de bien identifier les signes et d'appliquer les règles de priorité des opérations.

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FAQ

  • Comment identifier les termes semblables dans un polynôme ?

    Les termes semblables sont ceux qui ont la même variable (par exemple, 'x') élevée à la même puissance (par exemple, 'x2'). Seuls les coefficients peuvent être différents.
  • Quelle est la méthode la plus simple pour multiplier deux polynômes ?

    La méthode de distribution est la plus simple. Multipliez chaque terme du premier polynôme par chaque terme du second polynôme, puis combinez les termes semblables.
  • Que faire si un polynôme contient des termes manquants (par exemple, pas de terme en x) ?

    Vous pouvez considérer qu'il y a un terme avec un coefficient de zéro (par exemple, 0x) pour faciliter l'addition et la soustraction.