Comprendre les Limites de Fonctions à l'Infini

Introduction aux Limites à l'Infini

Les limites à l'infini s'intéressent au comportement d'une fonction f(x) lorsque x devient très grand (tend vers +∞) ou très petit (tend vers -∞). Il s'agit de déterminer si f(x) s'approche d'une valeur particulière, ou si elle croît ou décroît indéfiniment. L'étude des limites à l'infini est cruciale pour comprendre l'asymptote horizontale des fonctions.

Définition Formelle

Limite vers +∞: On dit que f(x) tend vers L lorsque x tend vers +∞, si pour tout intervalle ouvert contenant L, il existe un nombre réel A tel que si x > A, alors f(x) appartient à cet intervalle. On note lim (x→+∞) f(x) = L.
Limite vers -∞: On dit que f(x) tend vers L lorsque x tend vers -∞, si pour tout intervalle ouvert contenant L, il existe un nombre réel A tel que si x < A, alors f(x) appartient à cet intervalle. On note lim (x→-∞) f(x) = L.

Calcul des Limites à l'Infini : Fonctions Polynômes

Pour les fonctions polynômes, le terme de plus haut degré détermine le comportement à l'infini.
Exemple: Soit f(x) = 3x³ - 2x² + x - 5. Lorsque x tend vers +∞, le terme 3x³ domine tous les autres termes. Donc, lim (x→+∞) f(x) = lim (x→+∞) 3x³ = +∞.
De même, lorsque x tend vers -∞, lim (x→-∞) f(x) = lim (x→-∞) 3x³ = -∞.

Calcul des Limites à l'Infini : Fonctions Rationnelles

Pour les fonctions rationnelles (quotients de polynômes), on divise le numérateur et le dénominateur par le terme de plus haut degré au dénominateur.
Exemple: Soit f(x) = (2x² + x - 1) / (x² - 3x + 2). On divise le numérateur et le dénominateur par x²: f(x) = (2 + 1/x - 1/x²) / (1 - 3/x + 2/x²).
Lorsque x tend vers +∞ ou -∞, les termes 1/x et 1/x² tendent vers 0. Donc, lim (x→±∞) f(x) = 2/1 = 2. Cela signifie que la fonction possède une asymptote horizontale en y = 2.

Levée d'Indéterminations

Parfois, le calcul direct des limites conduit à des formes indéterminées (∞/∞, ∞ - ∞, 0/0). Dans ce cas, on utilise des techniques de factorisation, de simplification, ou la multiplication par la quantité conjuguée.
Exemple (Forme ∞/∞): Soit f(x) = (x² + 1) / (x + 1). En divisant par x (le terme de plus haut degré du dénominateur), on obtient f(x) = (x + 1/x) / (1 + 1/x). Lorsque x tend vers +∞, f(x) tend vers +∞.
Exemple (Forme ∞ - ∞): Soit f(x) = √(x² + x) - x. On multiplie et divise par la quantité conjuguée: f(x) = (x² + x - x²) / (√(x² + x) + x) = x / (√(x² + x) + x). En divisant par x, on obtient f(x) = 1 / (√(1 + 1/x) + 1). Lorsque x tend vers +∞, f(x) tend vers 1/2.

Asymptotes Horizontales

Si lim (x→+∞) f(x) = L ou lim (x→-∞) f(x) = L (où L est un nombre réel), alors la droite d'équation y = L est une asymptote horizontale à la courbe représentative de f(x).
Exemple: Si lim (x→+∞) f(x) = 3, alors la droite y = 3 est une asymptote horizontale. La courbe de f(x) se rapproche de cette droite lorsque x devient très grand.

Ce qu'il faut retenir

• Les limites à l'infini décrivent le comportement d'une fonction lorsque x devient très grand ou très petit.
• Pour les polynômes, le terme de plus haut degré domine.
• Pour les fonctions rationnelles, on divise par le terme de plus haut degré du dénominateur.
• Les formes indéterminées nécessitent des techniques de levée d'indétermination (factorisation, quantité conjuguée).
• Une asymptote horizontale existe si la limite à l'infini est une valeur finie L (y = L).