Résolution Guidée : Exercice de Géométrie dans l'Espace (Bac)

Énoncé de l'Exercice

Voici un énoncé d'exercice sur la géométrie dans l'espace :

Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé (O, i, j, k), on considère les points A(1, 0, 1), B(2, 1, 0) et C(0, 1, -1).

1. Montrer que les points A, B et C ne sont pas alignés.
2. Déterminer une équation cartésienne du plan (ABC).
3. Soit D(4, -2, 5). Calculer la distance du point D au plan (ABC).
4. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de l'intersection du plan (ABC) et du plan d'équation z = 0.

Question 1 : Points Non Alignés

Pour montrer que les points A, B et C ne sont pas alignés, on calcule les vecteurs AB et AC, et on vérifie qu'ils ne sont pas colinéaires.

AB = (2-1, 1-0, 0-1) = (1, 1, -1)
AC = (0-1, 1-0, -1-1) = (-1, 1, -2)

Si AB et AC étaient colinéaires, il existerait un réel k tel que AB = k * AC. Or, il n'existe pas de tel k qui vérifie simultanément 1 = -k, 1 = k et -1 = -2k. Donc, les vecteurs AB et AC ne sont pas colinéaires, et les points A, B et C ne sont pas alignés.

Conseil : La colinéarité des vecteurs est un concept clé en géométrie.

Question 2 : Équation Cartésienne du Plan (ABC)

Le vecteur normal au plan (ABC) peut être obtenu en calculant le produit vectoriel de AB et AC.

n = AB ∧ AC = (1, 1, -1) ∧ (-1, 1, -2) = ((-1)*(-2) - (-1)*1, (-1)*(-1) - 1*(-2), 1*1 - 1*(-1)) = (1, 3, 2)

L'équation cartésienne du plan (ABC) est de la forme ax + by + cz + d = 0, où (a, b, c) sont les composantes du vecteur normal. Donc, x + 3y + 2z + d = 0.

Pour trouver d, on utilise le fait que A(1, 0, 1) appartient au plan (ABC) : 1 + 3*0 + 2*1 + d = 0, ce qui donne d = -3.

L'équation cartésienne du plan (ABC) est donc x + 3y + 2z - 3 = 0.

Conseil : Maîtriser le produit vectoriel est indispensable.

Question 3 : Distance du Point D au Plan (ABC)

La distance d'un point D(x₀, y₀, z₀) au plan d'équation ax + by + cz + d = 0 est donnée par la formule :

Distance = |ax₀ + by₀ + cz₀ + d| / √(a² + b² + c²)

Ici, D(4, -2, 5) et l'équation du plan est x + 3y + 2z - 3 = 0. Donc :

Distance = |1*4 + 3*(-2) + 2*5 - 3| / √(1² + 3² + 2²) = |4 - 6 + 10 - 3| / √(1 + 9 + 4) = |5| / √14 = 5/√14.

Conseil : Apprendre et retenir la formule de la distance d'un point à un plan.

Question 4 : Intersection du Plan (ABC) avec z = 0

Le plan (ABC) a pour équation x + 3y + 2z - 3 = 0, et le plan z = 0 est le plan (Oxy). Pour trouver leur intersection, on remplace z par 0 dans l'équation du plan (ABC) :

x + 3y + 2*0 - 3 = 0, soit x + 3y - 3 = 0, ou encore x = -3y + 3.

Cette équation représente une droite dans le plan (Oxy). Sa nature est une droite, et on peut trouver deux points pour la définir, par exemple en posant y = 0 puis y = 1. Si y=0, x=3, donc le point (3, 0, 0) est sur la droite. Si y=1, x=0, donc le point (0, 1, 0) est sur la droite. L'intersection est donc une droite passant par les points (3,0,0) et (0,1,0).

Conseil : Visualiser l'intersection de plans peut aider à la compréhension.

Ce qu'il faut retenir

• Géométrie dans l'espace : Repère orthonormé, points, vecteurs, plans.
• Alignement de points : Utilisation des vecteurs et de la colinéarité.
• Équation cartésienne d'un plan : Détermination du vecteur normal, utilisation d'un point du plan.
• Distance d'un point à un plan : Formule à connaître et à appliquer.
• Intersection de plans : Résolution du système d'équations.