Exercices Corrigés : Transformations et Nombres Complexes

Exercice 1 : Translation

Énoncé : Le point A a pour affixe z_A = 4 - i. On effectue une translation de vecteur u d'affixe z_u = -2 + 3i. Déterminer l'affixe du point A', image de A par cette translation.

Correction : L'affixe de A' est donnée par z_A' = z_A + z_u. Donc, z_A' = (4 - i) + (-2 + 3i) = 2 + 2i.

Exercice 2 : Rotation

Énoncé : Soit le point B d'affixe z_B = 2 + 2i. On applique une rotation de centre O (l'origine) et d'angle π/4. Déterminer l'affixe du point B', image de B par cette rotation.

Correction : L'affixe de B' est donnée par z_B' = e^iπ/4 * z_B. On a e^iπ/4 = cos(π/4) + i sin(π/4) = (√2 / 2) + i (√2 / 2). Donc, z_B' = ((√2 / 2) + i (√2 / 2)) * (2 + 2i) = √2 + i√2 + i√2 - √2 = 2i√2.

Exercice 3 : Homothétie

Énoncé : Le point C a pour affixe z_C = -1 + i. On effectue une homothétie de centre Ω d'affixe z_Ω = 1 et de rapport k = 3. Déterminer l'affixe du point C', image de C par cette homothétie.

Correction : L'affixe de C' est donnée par z_C' = z_Ω + k(z_C - z_Ω). Donc, z_C' = 1 + 3((-1 + i) - 1) = 1 + 3(-2 + i) = 1 - 6 + 3i = -5 + 3i.

Exercice 4 : Combinaison de transformations

Énoncé : Soit le point D d'affixe z_D = i. On lui applique une rotation de centre O (origine) et d'angle π/2, suivie d'une translation de vecteur d'affixe 1 - i. Déterminer l'affixe du point D'', image finale de D.

Correction : Premièrement, la rotation donne z_D' = e^iπ/2 * z_D = i * i = -1. Deuxièmement, la translation donne z_D'' = z_D' + (1 - i) = -1 + (1 - i) = -i.

Ce qu'il faut retenir

• Les exercices permettent de consolider la compréhension des formules de translation, rotation et homothétie.
• Il est important de bien identifier le centre, l'angle et le rapport pour chaque transformation.
• La combinaison de transformations nécessite d'appliquer les formules dans l'ordre correct.