Mathématiques > Logique et Raisonnement Mathématique > Logique Propositionnelle > Propositions et connecteurs logiques (et, ou, non, implication, équivalence)
Introduction à la Logique Propositionnelle : Propositions et Connecteurs
Découvrez les bases de la logique propositionnelle : les propositions simples, les connecteurs logiques (ET, OU, NON, Implication, Équivalence), et comment les combiner pour former des énoncés complexes. Ce guide est conçu pour les élèves de lycée et comprend des exemples clairs et des exercices pour une compréhension approfondie.
Qu'est-ce qu'une Proposition ?
En logique propositionnelle, une proposition est un énoncé déclaratif qui peut être soit vrai, soit faux, mais pas les deux en même temps. C'est l'unité de base de notre raisonnement logique.
Exemples :
Des phrases interrogatives (« Quel temps fait-il ? ») ou impératives (« Ferme la porte ! ») ne sont pas des propositions car elles ne peuvent être ni vraies, ni fausses.
Les Connecteurs Logiques : ET (∧)
Le connecteur ET, symbolisé par ∧, combine deux propositions. La proposition composée (P ∧ Q) est vraie seulement si P est vraie et Q est vraie. Sinon, elle est fausse.
Table de vérité de ET (P ∧ Q) :P Q P ∧ Q Vrai Vrai Vrai Vrai Faux Faux Faux Vrai Faux Faux Faux Faux
Exemple :
Soient P = « Il pleut » et Q = « Je prends mon parapluie ». P ∧ Q = « Il pleut et je prends mon parapluie ». Cette phrase est vraie seulement s'il pleut et que je prends mon parapluie.
Les Connecteurs Logiques : OU (∨)
Le connecteur OU, symbolisé par ∨, combine deux propositions. La proposition composée (P ∨ Q) est vraie si P est vraie ou Q est vraie ou si les deux sont vraies. Elle est fausse seulement si P est fausse et Q est fausse.
Table de vérité de OU (P ∨ Q) :P Q P ∨ Q Vrai Vrai Vrai Vrai Faux Vrai Faux Vrai Vrai Faux Faux Faux
Exemple :
Soient P = « Je vais au cinéma » et Q = « Je vais au restaurant ». P ∨ Q = « Je vais au cinéma ou je vais au restaurant ». Cette phrase est vraie si je vais au cinéma, si je vais au restaurant, ou si je fais les deux.
Les Connecteurs Logiques : NON (¬)
Le connecteur NON, symbolisé par ¬, inverse la valeur de vérité d'une proposition. Si P est vraie, alors ¬P est fausse, et inversement.
Table de vérité de NON (¬P) :P ¬P Vrai Faux Faux Vrai
Exemple :
Soit P = « Il pleut ». ¬P = « Il ne pleut pas ».
Les Connecteurs Logiques : Implication (→)
L'implication, symbolisée par →, relie deux propositions. La proposition composée (P → Q) se lit « Si P alors Q ». Elle est fausse seulement si P est vraie et Q est fausse. Dans tous les autres cas, elle est vraie.
P est appelée l'hypothèse (ou antécédent) et Q la conclusion (ou conséquent).
Table de vérité de Implication (P → Q) :P Q P → Q Vrai Vrai Vrai Vrai Faux Faux Faux Vrai Vrai Faux Faux Vrai
Exemple :
Soient P = « J'étudie » et Q = « Je réussis l'examen ». P → Q = « Si j'étudie, alors je réussis l'examen ». Remarquez que cette phrase est considérée comme vraie même si je n'étudie pas et que je réussis quand même l'examen (par chance ou parce que je connais déjà le sujet).
Les Connecteurs Logiques : Équivalence (↔)
L'équivalence, symbolisée par ↔, relie deux propositions. La proposition composée (P ↔ Q) se lit « P est équivalent à Q » ou « P si et seulement si Q ». Elle est vraie seulement si P et Q ont la même valeur de vérité (soit toutes les deux vraies, soit toutes les deux fausses).
Table de vérité de Équivalence (P ↔ Q) :P Q P ↔ Q Vrai Vrai Vrai Vrai Faux Faux Faux Vrai Faux Faux Faux Vrai
Exemple :
Soient P = « Un triangle a trois côtés » et Q = « Un triangle est un polygone ». P ↔ Q = « Un triangle a trois côtés si et seulement si c'est un polygone ». Cette phrase est vraie car les deux propositions sont toujours vraies ensemble.
Priorité des connecteurs
Lorsqu'une proposition combine plusieurs connecteurs, il est important de respecter un ordre de priorité pour évaluer correctement sa valeur de vérité. L'ordre de priorité, du plus prioritaire au moins prioritaire, est généralement le suivant :
L'utilisation de parenthèses permet de modifier cet ordre et de forcer l'évaluation de certaines parties de la proposition en premier.
Exemple :
Considérons la proposition : ¬P ∧ Q → R
Sans parenthèses, elle est interprétée comme : ((¬P) ∧ Q) → R
Si on veut que l'implication porte sur (Q → R) et que le résultat soit combiné avec ¬P, on écrit : ¬P ∧ (Q → R)
Ce qu'il faut retenir
FAQ
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Quelle est la différence entre le OU inclusif (∨) et le OU exclusif (XOR) ?
Le OU inclusif (∨) est vrai si au moins une des propositions est vraie (y compris si les deux sont vraies). Le OU exclusif (XOR) est vrai seulement si exactement une des propositions est vraie. Il est faux si les deux sont vraies ou si les deux sont fausses. La logique propositionnelle étudiée en lycée utilise le OU inclusif. -
Comment prouver qu'une implication est vraie ?
Pour prouver qu'une implication (P → Q) est vraie, vous devez montrer que si P est vraie, alors Q est nécessairement vraie. Vous pouvez le faire directement en supposant que P est vraie et en démontrant que Q en découle. Vous pouvez aussi le faire par contraposition : montrer que si Q est fausse, alors P est fausse.