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Suites Arithmétiques : Comprendre et Maîtriser

Explorez en détail les suites arithmétiques : définition, calcul du terme général et formule pour la somme des termes. Des exemples concrets et des exercices pour une compréhension approfondie.

Définition d'une Suite Arithmétique

Une suite arithmétique est une suite de nombres où la différence entre deux termes consécutifs est constante. Cette différence constante est appelée la raison de la suite, souvent notée r. En d'autres termes, pour passer d'un terme au suivant, on ajoute toujours le même nombre (la raison).

Exemple concret :
La suite 2, 5, 8, 11, 14... est une suite arithmétique de raison 3, car 5 - 2 = 8 - 5 = 11 - 8 = 14 - 11 = 3.

Comment identifier une suite arithmétique ?

Pour vérifier si une suite est arithmétique, calculez la différence entre plusieurs paires de termes consécutifs. Si cette différence est toujours la même, alors la suite est arithmétique. Si ce n'est pas le cas, la suite n'est pas arithmétique.

Exemple :
Considérons la suite 1, 4, 9, 16, 25...
* 4 - 1 = 3
* 9 - 4 = 5
Comme les différences ne sont pas égales, cette suite n'est pas arithmétique.

Terme Général d'une Suite Arithmétique

Le terme général d'une suite arithmétique, noté un, permet de calculer n'importe quel terme de la suite sans avoir à calculer tous les termes précédents. Il est défini par la formule :

un = u0 + n * r

Où :
* un est le terme de rang n (le n-ième terme).
* u0 est le premier terme de la suite (le terme de rang 0).
* n est le rang du terme que l'on cherche (un entier naturel).
* r est la raison de la suite.

Remarque importante : Si l'énoncé donne u1 au lieu de u0, la formule devient: un = u1 + (n-1) * r

Exemple :
Considérons la suite arithmétique de premier terme u0 = 3 et de raison r = 2. Calculons le 5ème terme (u4) :
u4 = 3 + 4 * 2 = 3 + 8 = 11
Donc, le 5ème terme de la suite est 11.

Somme des Termes d'une Suite Arithmétique

La somme des n premiers termes d'une suite arithmétique, notée Sn, se calcule grâce à la formule suivante :

Sn = n * (u0 + un-1) / 2

Ou de manière équivalente (en remplaçant un-1 par sa formule) :

Sn = n/2 * [2*u0 + (n-1) * r]

Où :
* Sn est la somme des n premiers termes.
* n est le nombre de termes que l'on somme.
* u0 est le premier terme de la suite.
* un-1 est le (n-1)-ième terme de la suite.
* r est la raison de la suite.

En d'autres termes, la somme est égale au nombre de termes, multiplié par la moyenne du premier terme et du dernier terme.

Exemple :
Calculons la somme des 10 premiers termes de la suite arithmétique de premier terme u0 = 1 et de raison r = 3.
Premièrement, calculons le 10ème terme (u9) :
u9 = 1 + 9 * 3 = 1 + 27 = 28
Ensuite, appliquons la formule de la somme :
S10 = 10 * (1 + 28) / 2 = 10 * 29 / 2 = 145
Donc, la somme des 10 premiers termes de la suite est 145.

Tableau Récapitulatif des Formules

Voici un tableau récapitulatif des formules essentielles concernant les suites arithmétiques :

Concept Formule
Terme Général (u0 connu) un = u0 + n * r
Terme Général (u1 connu) un = u1 + (n-1) * r
Somme des n premiers termes Sn = n * (u0 + un-1) / 2 ou Sn = n/2 * [2*u0 + (n-1) * r]

Ce qu'il faut retenir

  • Définition : Une suite arithmétique est une suite où la différence entre deux termes consécutifs est constante (la raison).
  • Terme général : Permet de calculer n'importe quel terme de la suite. un = u0 + n * r (ou un = u1 + (n-1) * r si on connait u1).
  • Somme des n premiers termes : Sn = n * (u0 + un-1) / 2 (ou Sn = n/2 * [2*u0 + (n-1) * r]).

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FAQ

  • Comment savoir si une suite est arithmétique ?

    Calculez la différence entre plusieurs paires de termes consécutifs. Si la différence est constante, la suite est arithmétique.
  • Quelle est l'utilité du terme général d'une suite arithmétique ?

    Le terme général permet de calculer directement n'importe quel terme de la suite, sans avoir à calculer tous les termes précédents.
  • La formule de la somme des termes nécessite-t-elle de connaître tous les termes ?

    Non, la formule nécessite de connaître le premier terme, le nombre de termes et la raison (ou le dernier terme).