Résoudre une Équation du Premier Degré : Guide Complet

Définition d'une Équation du Premier Degré

Une équation du premier degré est une équation dans laquelle l'inconnue (souvent notée x) apparaît à la puissance 1. Elle peut s'écrire sous la forme générale ax + b = 0, où a et b sont des nombres réels et a ≠ 0. Le but est de trouver la valeur de x qui rend l'équation vraie. Par exemple, 2x + 3 = 7 est une équation du premier degré.

Principe Fondamental : L'Équilibre de l'Équation

Imaginez une équation comme une balance. Pour qu'elle reste équilibrée, toute opération que vous effectuez d'un côté doit être reproduite de l'autre côté. Les opérations autorisées sont l'addition, la soustraction, la multiplication et la division (sauf par zéro).

Méthode de Résolution : Isolation de l'Inconnue

Le but est d'isoler l'inconnue x d'un côté de l'équation. Voici les étapes principales :

1. Simplification : Développez et réduisez chaque membre de l'équation si nécessaire.
2. Transposition : Faites passer tous les termes contenant x d'un côté de l'équation et tous les termes constants de l'autre côté. Rappelez-vous de changer le signe lorsque vous transposez un terme.
3. Regroupement : Regroupez les termes semblables (les termes contenant x ensemble, les termes constants ensemble).
4. Division : Divisez les deux membres de l'équation par le coefficient de x pour obtenir la valeur de x.

Exemple 1 : Résolution Pas à Pas

Résolvons l'équation 3x + 5 = 14 :

1. Transposition : Soustrayez 5 des deux côtés : 3x + 5 - 5 = 14 - 5, ce qui donne 3x = 9.
2. Division : Divisez les deux côtés par 3 : 3x / 3 = 9 / 3, ce qui donne x = 3.

Exemple 2 : Équation avec Parentheses

Résolvons l'équation 2(x - 1) + 5 = 3x :

1. Développement : Développez la parenthèse : 2x - 2 + 5 = 3x.
2. Simplification : Réduisez : 2x + 3 = 3x.
3. Transposition : Soustrayez 2x des deux côtés : 2x + 3 - 2x = 3x - 2x, ce qui donne 3 = x.

Vérification de la Solution

Il est toujours bon de vérifier votre solution en la remplaçant dans l'équation d'origine. Si l'équation est vraie, alors votre solution est correcte. Dans l'exemple 1, remplaçons x par 3 dans l'équation 3x + 5 = 14 : 3(3) + 5 = 9 + 5 = 14. L'équation est vraie, donc notre solution x = 3 est correcte. Dans l'exemple 2, remplaçons x par 3 dans l'équation 2(x - 1) + 5 = 3x : 2(3 - 1) + 5 = 2(2) + 5 = 4 + 5 = 9 et 3(3) = 9. L'équation est vraie, donc notre solution x = 3 est correcte.

Cas Particuliers

• Pas de solution : Parfois, vous pouvez aboutir à une contradiction, comme 0 = 5. Dans ce cas, l'équation n'a pas de solution.
• Infinité de solutions : Si vous aboutissez à une identité, comme 0 = 0, cela signifie que l'équation a une infinité de solutions. Toute valeur de x rendra l'équation vraie.

Ce qu'il faut retenir

• Une équation du premier degré a la forme ax + b = 0.
• Pour résoudre, isolez l'inconnue x en utilisant les opérations inverses (addition/soustraction, multiplication/division).
• Vérifiez toujours votre solution en la remplaçant dans l'équation d'origine.
• Soyez attentif aux cas particuliers : pas de solution ou infinité de solutions.