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Loi de probabilité discrète

Comprendre et appliquer les lois de probabilité discrètes : définitions, exemples, calculs d'espérance et de variance. Ressources pour lycéens.

Introduction aux lois de probabilité discrètes

Les lois de probabilité discrètes sont utilisées pour modéliser des expériences aléatoires dont les résultats sont dénombrables. Contrairement aux lois continues, les variables discrètes ne peuvent prendre qu'un nombre fini ou dénombrable de valeurs. Par exemple, le nombre de faces obtenues en lançant une pièce de monnaie plusieurs fois est une variable discrète.

Définition d'une loi de probabilité discrète

Une loi de probabilité discrète associe à chaque valeur possible d'une variable aléatoire discrète sa probabilité d'occurrence. Formellement, si X est une variable aléatoire discrète prenant les valeurs x1, x2, ..., xn, alors la loi de probabilité de X est définie par les probabilités P(X = x1), P(X = x2), ..., P(X = xn). La somme de toutes ces probabilités doit être égale à 1: Σ P(X = xi) = 1.

Exemple concret : Lancer d'un dé

Considérons le lancer d'un dé équilibré à six faces. La variable aléatoire X représente le résultat obtenu. Les valeurs possibles sont 1, 2, 3, 4, 5 et 6. Comme le dé est équilibré, chaque face a la même probabilité d'apparaître : P(X = 1) = P(X = 2) = ... = P(X = 6) = 1/6. La loi de probabilité est donc définie par ces six probabilités.

Représentation d'une loi de probabilité discrète

Une loi de probabilité discrète peut être représentée de différentes manières :

  • Tableau : On liste les valeurs possibles de la variable aléatoire et leur probabilité correspondante.
  • Diagramme en bâtons : On représente chaque valeur de la variable aléatoire par un bâton dont la hauteur est proportionnelle à sa probabilité.
  • Fonction de masse de probabilité (PMF) : C'est une fonction qui donne la probabilité pour chaque valeur possible de la variable aléatoire.

Espérance mathématique d'une loi de probabilité discrète

L'espérance mathématique (ou moyenne) d'une variable aléatoire discrète X, notée E(X), est la somme des produits de chaque valeur possible de X par sa probabilité : E(X) = Σ xi * P(X = xi). L'espérance représente la valeur moyenne que l'on s'attend à obtenir si l'expérience était répétée un grand nombre de fois. Par exemple, si on relance le dé un très grand nombre de fois, la moyenne des résultats va se rapprocher de 3.5.

Variance et écart-type d'une loi de probabilité discrète

La variance, notée Var(X), mesure la dispersion des valeurs de la variable aléatoire autour de sa moyenne. Elle se calcule comme suit : Var(X) = Σ (xi - E(X))2 * P(X = xi). L'écart-type, noté σ(X), est la racine carrée de la variance : σ(X) = √Var(X). L'écart-type donne une indication de l'écart typique entre les valeurs de la variable aléatoire et sa moyenne.

Exemple : Calcul de l'espérance et de la variance pour le lancer d'un dé

Reprenons l'exemple du lancer d'un dé équilibré. Nous avons déjà vu que P(X = i) = 1/6 pour i = 1, 2, ..., 6. L'espérance est donc : E(X) = (1 * 1/6) + (2 * 1/6) + (3 * 1/6) + (4 * 1/6) + (5 * 1/6) + (6 * 1/6) = 3.5. La variance est : Var(X) = Σ (i - 3.5)2 * 1/6 = ((1 - 3.5)2 + (2 - 3.5)2 + ... + (6 - 3.5)2) * 1/6 ≈ 2.92. L'écart-type est : σ(X) = √2.92 ≈ 1.71.

Loi de Bernoulli

La loi de Bernoulli modélise une expérience avec seulement deux résultats possibles: succès (avec probabilité p) et échec (avec probabilité 1-p). La variable aléatoire X prend la valeur 1 en cas de succès et 0 en cas d'échec. Son espérance est E(X) = p et sa variance est Var(X) = p(1-p).

Loi binomiale

La loi binomiale modélise le nombre de succès lors de n répétitions indépendantes d'une expérience de Bernoulli (ayant une probabilité de succès p). La probabilité d'obtenir exactement k succès en n essais est donnée par : P(X = k) = C(n, k) * pk * (1-p)(n-k) où C(n, k) est le coefficient binomial (nombre de combinaisons de k éléments parmi n). Son espérance est E(X) = np et sa variance est Var(X) = np(1-p).

Applications des lois de probabilité discrètes

Les lois de probabilité discrètes ont de nombreuses applications dans divers domaines, tels que:

  • Statistiques : Analyse de données et tests d'hypothèses.
  • Finance : Modélisation des risques et évaluation des investissements.
  • Télécommunications : Analyse de la performance des réseaux.
  • Biologie : Modélisation de la génétique et de l'évolution.

Ce qu'il faut retenir

  • Une loi de probabilité discrète décrit la probabilité de chaque valeur possible d'une variable aléatoire discrète.
  • La somme des probabilités de toutes les valeurs possibles doit être égale à 1.
  • L'espérance mathématique est la valeur moyenne pondérée des valeurs possibles.
  • La variance mesure la dispersion des valeurs autour de la moyenne.
  • L'écart-type est la racine carrée de la variance.
  • La loi de Bernoulli modélise une expérience avec deux résultats possibles.
  • La loi binomiale modélise le nombre de succès dans une suite d'expériences de Bernoulli.

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FAQ

  • Quelle est la différence entre une variable aléatoire discrète et une variable aléatoire continue ?

    Une variable aléatoire discrète ne peut prendre qu'un nombre fini ou dénombrable de valeurs, tandis qu'une variable aléatoire continue peut prendre n'importe quelle valeur dans un intervalle donné.
  • Comment calculer l'espérance d'une loi de probabilité discrète ?

    L'espérance se calcule en multipliant chaque valeur possible de la variable aléatoire par sa probabilité et en sommant tous ces produits.
  • Dans quel cas utilise-t-on la loi binomiale ?

    On utilise la loi binomiale pour modéliser le nombre de succès obtenus lors de la répétition d'une même expérience aléatoire un certain nombre de fois, en supposant que chaque expérience est indépendante des autres.