Comprendre l'Ensemble de Définition et l'Image d'une Fonction

Introduction aux Fonctions

En mathématiques, une fonction est une relation entre un ensemble de valeurs d'entrée (appelé ensemble de départ ou domaine de définition) et un ensemble de valeurs de sortie (appelé ensemble d'arrivée). Pour chaque valeur d'entrée, la fonction attribue une seule valeur de sortie. On note souvent une fonction par f, et on écrit f(x) pour désigner la valeur de sortie correspondant à l'entrée x.

L'Ensemble de Définition

L'ensemble de définition d'une fonction, noté D_f, est l'ensemble de toutes les valeurs de x pour lesquelles la fonction f(x) est définie. En d'autres termes, ce sont toutes les valeurs que l'on peut 'entrer' dans la fonction pour obtenir une sortie réelle et définie.

Comment le déterminer ? La détermination de l'ensemble de définition dépend de la forme de la fonction :

1. Fonctions polynomiales : (ex: f(x) = x² + 3x - 1) Leur ensemble de définition est toujours ℝ (l'ensemble de tous les nombres réels).

2. Fonctions rationnelles : (ex: f(x) = 1/x) Il faut exclure les valeurs de x qui annulent le dénominateur. Donc, D_f = {x ∈ ℝ | dénominateur ≠ 0}.

3. Fonctions avec racines carrées : (ex: f(x) = √x) L'expression sous la racine doit être positive ou nulle. Donc, D_f = {x ∈ ℝ | expression sous la racine ≥ 0}.

4. Fonctions logarithmiques : (ex: f(x) = ln(x)) L'argument du logarithme doit être strictement positif. Donc, D_f = {x ∈ ℝ | argument du logarithme > 0}.

Exemples d'Ensemble de Définition

Exemple 1 : Soit f(x) = 1 / (x - 2). Le dénominateur s'annule lorsque x = 2. Donc, D_f = ℝ \ {2} (tous les réels sauf 2). On peut aussi l'écrire D_f = ]-∞ ; 2[ ∪ ]2 ; +∞[.

Exemple 2 : Soit g(x) = √(4 - x). On doit avoir 4 - x ≥ 0, ce qui implique x ≤ 4. Donc, D_g = ]-∞ ; 4].

Exemple 3 : Soit h(x) = x³ - 5x + 2. C'est une fonction polynomiale, donc D_h = ℝ.

L'Image d'une Fonction

L'image d'une fonction f, notée Im(f) ou f(D_f), est l'ensemble de toutes les valeurs de sortie que la fonction peut prendre. Autrement dit, c'est l'ensemble de toutes les valeurs y pour lesquelles il existe au moins un x dans l'ensemble de définition tel que f(x) = y.

Comment la déterminer ? La détermination de l'image d'une fonction est généralement plus complexe que celle de l'ensemble de définition. Elle peut nécessiter l'étude des variations de la fonction (croissance, décroissance, extrema) :

1. Fonctions simples : Pour des fonctions simples, on peut déterminer l'image en observant les valeurs que la fonction peut prendre.

2. Tableau de variations : Si vous avez le tableau de variations de la fonction, vous pouvez identifier les bornes de l'image. Les extrema locaux (minimums et maximums) sont particulièrement importants.

3. Résolution d'équations : Pour déterminer si une valeur y appartient à l'image, on peut essayer de résoudre l'équation f(x) = y. Si l'équation a au moins une solution x dans l'ensemble de définition, alors y appartient à l'image.

Exemples d'Image de Fonctions

Exemple 1 : Soit f(x) = x². L'ensemble de définition est ℝ, mais la fonction renvoie toujours des valeurs positives ou nulles. Donc, Im(f) = [0 ; +∞[.

Exemple 2 : Soit g(x) = sin(x). L'ensemble de définition est ℝ, et on sait que le sinus est toujours compris entre -1 et 1. Donc, Im(g) = [-1 ; 1].

Exemple 3 : Soit h(x) = 2x + 1. L'ensemble de définition est ℝ. Pour tout y réel, on peut trouver un x tel que 2x + 1 = y (à savoir x = (y-1)/2). Donc, Im(h) = ℝ.

Lien entre Ensemble de Définition et Image

L'ensemble de définition et l'image sont intimement liés. L'ensemble de définition nous dit quelles sont les entrées valides, tandis que l'image nous dit quelles sont les sorties possibles. La connaissance de l'ensemble de définition est cruciale pour déterminer l'image, et vice versa. Par exemple, restreindre l'ensemble de définition d'une fonction peut modifier son image.

Ce qu'il faut retenir

• Fonction : Relation qui associe à chaque élément de l'ensemble de départ (ensemble de définition) un unique élément de l'ensemble d'arrivée.
• Ensemble de définition (D_f): Ensemble des valeurs pour lesquelles la fonction est définie. Déterminé par les restrictions sur les opérations (division par zéro, racine carrée de nombres négatifs, etc.).
• Image (Im(f) ou f(D_f)): Ensemble des valeurs prises par la fonction lorsque x parcourt l'ensemble de définition. Sa détermination peut nécessiter l'étude des variations de la fonction.
• La connaissance de l'ensemble de définition est indispensable pour déterminer l'image.